數(shù)列極限“ε-N”定義的教學(xué)組織

趙薩日娜

（長春建筑學(xué)院，吉林 長春 130618）

數(shù)列極限“ε-N”定義的教學(xué)組織

趙薩日娜

（長春建筑學(xué)院，吉林 長春 130618）

數(shù)列極限對建立函數(shù)的各種極限形式有重要的引領(lǐng)作用.本文用形式邏輯思維和辯證邏輯思維，從四個有機關(guān)聯(lián)的層面對數(shù)列極限“ε-N”定義的教學(xué)進行組織.

極限；數(shù)列極限；定義；辯證邏輯；思維

極限理論是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，極限概念是極限理論的基石.數(shù)列極限是最簡單最基本的極限形式，它對建立函數(shù)的各種極限形式有著極為重要的先行、引領(lǐng)作用.組織好數(shù)列極限“ε-N”定義的教學(xué)對整個極限理論的概念教學(xué)是十分重要的.本文用形式邏輯思維、辯證邏輯思維從四個有機關(guān)聯(lián)的層面對數(shù)列極限“ε-N”定義進行教學(xué)組織.

1 極限方法

1.1 引例：求半徑為R的圓面積S

作法的基本思想：用恩格斯提出的“在一定條件下直線和曲線應(yīng)當(dāng)是一回事”的辯證邏輯思維，在局部范圍“以直代曲”，即劉徽的割圓術(shù).

（1）把圓周n等分，形成圓內(nèi)接正n邊形；每邊邊長為ln，邊心距為Rn，形成n個以R、ln為邊的小三角形.（如圖1）

圖1

（3）讓n無限增大，記成n→∞.很顯然，n→∞時，Sn將無限趨近于圓面積S，記作Sn=S(lim是“l(fā)imit”的縮寫，表示極限的意思)；當(dāng)n→∞時，內(nèi)接正n邊形的周長nln無限接近于圓周長l=2πR，邊心距Rn無限接近半徑R，得到

1.2 極限方法

用辯證邏輯，把概念、推理、判斷都看作是一種運動著的東西來思考，對引例做一般化總結(jié)：要確定某一個量（真值），首先找到它的一連串越來越精確的近似值，之后考察這一連串近似值的變化趨向，把那個量的精確值確定下來，這種方法就是極限方法.簡言之，極限方法就是從有限到無限、從近似到精確的方法.

2 數(shù)列極限“ε-N”定義的形式

2.1 數(shù)列極限的描述性定義

從極限方法出發(fā)，容易給出數(shù)列極限的直觀描述性定義.

定義1設(shè)有數(shù)列{xn}：x1,x2,x3,…,xn,…，如果當(dāng)n無限增大時，xn趨近于某一個定常數(shù)a，則稱數(shù)列{xn}當(dāng)n→∞時以a為極限，記為xn=a或xn→a(n→∞時).

描述性定義是從直觀給以定性的描述，根本弱點是缺乏定量分析，理論發(fā)展和實際應(yīng)用需要把極限概念加以精確化，深化數(shù)列極限定義.

2.2 數(shù)列極限的“ε-N”定義

剖析描述性定義，所謂數(shù)列{xn}當(dāng)n→∞時以定常數(shù)a為極限，意即“當(dāng)n充分大時，xn與a可以任意接近，要多近就能有多近”，等價于“當(dāng)n充分大時，|xn-a|可以任意小，要多小就能有多小”，就是說：“要|xn-a|有多小，只需n增大到一定程度后，就能有多小”.數(shù)列極限的精確定義，就是把這層意思數(shù)量化的確切表示出來.看一個例子：考察數(shù)列，從描述性定義易知它以零為極限.要多小，只要n增大到一定程度后，就能有多小.

定義2 設(shè)有數(shù)列{xn}，如果存在定常數(shù)a，對任意給定的正數(shù)ε（不論它有多么小），總存在著正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，不等式

都成立，那么就稱a是數(shù)列{xn}的極限，或者稱數(shù)列{xn}收斂于a，記為

如果不存在這樣的常數(shù)a，就稱數(shù)列{xn}沒有極限，或說數(shù)列{xn}發(fā)散.

2.3 對“ε-N”定義的分析

（1）定義反映了通過有限去認識無限的辯證邏輯思維.xn趨近于a的過程是一個無限接近的過程.但實現(xiàn)這個過程的每一步接近都是有限的；|xn-a|接近零的過程是無限變小的過程，但每一次變小的過程都是通過有限形式表達的.正是這無限個有限變小的形式完成了|xn-a|趨于零的無限變小的過程.

（2）定義中的ε扮演了體現(xiàn)極限方法的重要角色，它有給定和任意的二重性，把數(shù)列極限的無限變化做到了靜和動的統(tǒng)一.給定ε一個值，形成一個靜態(tài)的不等式|xn-a|<ε，確定一個對應(yīng)的N；任意給定ε，形成一系列靜態(tài)不等式|xn-a|<ε，確定一系列對應(yīng)的N，這一系列的不等式|xn-a|<ε和N的對應(yīng)變化構(gòu)成了動態(tài)的極限過程，完成了從有限到無限，從近似到精確的深化.這種從靜到動的過程反映的是“變量靜態(tài)下的形式邏輯思維規(guī)律”.

（3）定義中的N不唯一，一般說來ε越小，對應(yīng)的N越大，N依賴于ε的取值，常記作N=N(ε).

（4）從幾何上看，數(shù)列{xn}對應(yīng)于數(shù)軸上一串點，|xn-a|<ε表示點xn與a的距離小于ε.任意給定了正數(shù)ε，在數(shù)軸上做以a為中心長為2ε的開區(qū)間xn-εN時，|xn-a|<ε成立，表示下標(biāo)大于N的一切點xn，都將進入開區(qū)間a-ε

圖2

3 數(shù)列極限“ε-N定義的應(yīng)用舉例

證明 對于任意給定的正數(shù)ε，欲使|xn-a|=，只要n>.

4 數(shù)列極限“ε-N”定義的拓展性

數(shù)列極限“ε-N”定義的數(shù)量關(guān)系形式上看是兩個正數(shù)ε、N，兩個不等式，n>N的邏輯關(guān)系.其中ε和是數(shù)列取值變化的標(biāo)志，N和n>N是自變量取值變化的標(biāo)志.

對一元函數(shù)的極限形式一般分為下列6類共24種：

但無論是哪種形式的定義，也都是兩個正數(shù)、兩個不等式的辯證邏輯關(guān)系.其中一個正數(shù)是函數(shù)變化的標(biāo)志，對應(yīng)著相關(guān)于函數(shù)的一個不等式，另一個正數(shù)是自變量變化的標(biāo)志，對應(yīng)著相關(guān)于自變量的一個不等式，如，就是兩個正數(shù) ε、δ及與之對應(yīng)的兩個不等式的邏輯關(guān)系.實質(zhì)上，這都與數(shù)列極限“ε-N”定義的形式是一致的，所以把握好數(shù)列極限“ε-N”定義的形式及內(nèi)涵，按著形式邏輯的規(guī)則，進行觸類、聯(lián)想、拓展，很容易得到函數(shù)極限各種形式的定義.

〔1〕吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.北京人民教育出版社，1978.

〔2〕T.M.菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程第一卷第一分冊.北京人民教育出版社，1980.

〔3〕同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).北京高等教育出版社，2004.

〔4〕藺云.辯證邏輯思維及其常量與變量互易法—微積分教學(xué)方法的探索與研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008（4）.

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1673-260 X（2013）10-0008-02