無失效數據下滾動軸承的可靠性估計

但召江，樓洪梁，李興林，郭明月，陳炳順

(1.中國計量學院 質量與安全工程學院，杭州 310018；2. 杭州軸承試驗研究中心 博士后工作站，杭州 310022；3.杭州誠信汽車軸承有限公司，杭州 310024)

隨著軸承質量的提高，在可靠性定時截尾試驗過程中會出現大量的無失效數據。由于缺乏足夠的試驗信息，傳統的估計方法無法對其做出適當的可靠性估計。因此有必要對無失效數據下軸承的可靠性估計方法展開研究。軸承壽命服從兩參數Weibull分布，兩分布參數估計的準確性決定軸承可靠性估計的準確性。在無失效數據這種乏信息的試驗過程中，Bayes估計方法能充分利用驗前信息和試驗信息，顯示了其獨特的優越性。無失效數據的產品可靠性研究起源于文獻[1]，自該文獻發表以來，對無失效數據的研究逐漸受到重視，并取得一定的成果。

目前，在無失效數據情況下，Weibull分布參數的估計中，由于參數的先驗信息難以獲取，大多數都從失效概率入手。在無失效情況下，失效概率大的可能性小，小的可能性大，根據這一特性利用共軛分布方法確定失效概率的先驗分布，然后通過Bayes估計方法得出一組不同時刻的失效概率估計值，再通過最小二乘法求得分布的2個參數[2-3]。事實上，形狀參數是Weibull分布中極其重要的參數，其數值決定了Weibull分布曲線的形狀，如果能獲得形狀參數的先驗信息，對提高參數估計的準確度具有較大意義。文獻[4]用數理統計方法對軸承形狀參數進行了深入研究，提出了軸承形狀參數的具體分布，為軸承可靠性估計帶來方便。

下文將Weibull分布轉化為指數分布，以指數分布的失效率為切入點，在無失效數據下，利用共軛分布方法確定失效率的先驗分布。Weibull分布形狀參數的先驗信息用2種方法取得：(1)通過文獻[4]的研究成果，擬合一分布作為形狀參數的先驗分布；(2)根據生產經驗以某一區間上均勻分布作為先驗分布，然后利用無失效試驗數據，得出失效率和形狀參數的Bayes估計，進而計算得到軸承壽命的估計值，并在先驗信息和截尾時間改變的情況下討論其穩定性。

1 無失效數據模型

軸承壽命T服從形狀參數為m,特征壽命參數為η的Weibull分布，其分布函數F(t)為

(1)

其中，m,η未知。現從中隨機抽取n個樣品分成k組，各組樣品數分別為n1,n2,n3,…，nk，且n1+n2+n3+…+nk=n，各組樣品分別獨立地進行定時截尾試驗，截尾時間分別為t1,t2,t3,…，tk，結果無一失效，則獲得一組無失效數據(ti,ni),i=1,2,3,…，k。

若令λ=η-m,t*=tm，則Weibull分布形狀參數和特征壽命的估計可轉化為討論指數分布的失效率估計[5]。

設產品壽命T*服從參數為λ的指數分布，其分布函數為

F(t*)=1-exp(-λt*),λ>0,t*>0。

(2)

影響Bayes估計準確性的關鍵因素是先驗分布。將Weibull分布轉化為指數分布有利于先驗信息的獲取。文獻[5]提出先驗分布應取共軛分布(Gamma分布)。

2 先驗信息的獲取

針對以上模型，在無失效數據下指數壽命型產品的失效率λ小的可能性大，大的可能性小，因此應選取減函數作為失效率λ的先驗分布，由于模型中關于λ的信息極少，故采用共軛的方法確定先驗分布。

在給定形狀參數m情況下取Ga(a,b)為λ的先驗分布密度，其中a,b為分布的超參數，由文獻[6]可知，當00時，概率密度遞減。則在給定m條件下λ的先驗分布密度函數為

(3)

其中,a,b由2種方法確定[7]：(1) 由專家經驗確定；(2) 用2個分位數確定，分位數可以根據先驗信息和歷史資料確定。例如用上下四分位數λU和λL，則a,b須滿足

對于形狀參數m的先驗信息，可以從產品的歷史信息中獲得，例如對于某一型號的軸承，可以從歷史試驗數據中取得m的先驗分布函數，至少根據生產方的經驗可以確定形狀參數的分布范圍，最壞的情況下取形狀參數m的先驗分布為某一區間的均勻分布。關于形狀參數的分布，文獻[4]分別以滾子軸承、球軸承和軸承總體為母體討論了其分布范圍和平均值，并繪出了柱狀圖，這為以后軸承可靠性的評價提供了便利。在此根據文獻[4]提供的數據，以球軸承為母體，將擬合得到的形狀參數的概率分布作為先驗信息。

對于文獻[4]中的數據，通過擬合試驗，在95%的置信水平下，形狀參數m的先驗分布符合Weibull分布。用Matlab提供的方法擬合得到形狀參數m的分布密度函數π(m)為

(4)

式中：d=1.743 9；c=2.176 0。

對于某一型號的軸承，通常無法確定形狀參數的具體值，但可以根據以往的生產經驗，確定形狀參數的區間，因此，也可以用該區間內的均勻分布作為形狀參數的先驗分布。在得到所有的先驗信息的基礎上，就可以利用試驗數據對參數λ,m進行Bayes估計。

3 參數λ,m的Bayes估計

由(3)和(4)式得λ,m的先驗聯合密度分布π(λ,m)為

π(λ,m)=π(λ|m)π(m)=

(5)

在無失效數據下，相應的似然函數L(0|λ,m)為[8-9]

(6)

根據(5)和(6)式得λ,m的后驗聯合密度函數h(λ,m|0)為

(7)

由(7)式得到m,λ的后驗邊緣分布h(m|0)，h(λ|0)為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

有了Weibull分布的參數后，就可以對壽命和可靠度作出估計，即

(13)

(14)

對形狀參數m服從區間為[m1,m2]均勻分布的情況，只需將(4)式改為

(15)

將(15)式代替(4)式，進行(5)～(14)式計算，即可得到形狀參數服從均勻分布情況下軸承壽命的可靠度估計。

4 實例分析

利用文獻[10]中6203軸承定時截尾試驗結果(表1)對上述方法進行驗證，得到的一組無失效數據見表2，表2的截尾時間靠近失效時間。

文獻[10]用最佳線性不變估計(BLIE)、最佳線性無偏估計(BLUE)和最大似然函數(MLE)3種方法得到估計結果，見表3。根據方法1和表2的數據，用(4)式作為形狀參數的先驗分布，先驗信息中超參數a=0.01,b=1.5時，得到的估計結果見表3；用方法2，在先驗信息中超參數a=0.05,b=5, 形狀參數先驗分布取[0.5,4]區間的均勻分布，得到的估計結果見表3。

表1 6203軸承定時截尾試驗數據

表2 無失效數據的截尾時間

表3 文獻[10]的估計結果和文中估計結果的對照

當先驗信息不變，截尾時間分別為表2的0.4，0.6和0.8倍時，2種方法的估計值見表4。

表4 截尾時間按比例變化的Bayes估計結果

由表4可以看出，隨著截尾時間延長，形狀參數的變化不明顯，但特征壽命在不斷增加。對于方法2，當截尾時間取表2中的0.5倍，形狀參數先驗信息的均勻分布區間伸縮與平移變化時，估計結果的變化見表5。

由表5可以看出，當形狀參數的均勻分布區間伸縮變化時，形狀參數變化不大，特征壽命的變化較大。當形狀參數的均勻分布區間平移變化時，特征壽命變化不大，形狀參數的變化較大。這說明先驗信息的改變對估計結果的影響比截尾時間改變帶來的影響更大些。

表5 形狀參數的均勻分布區間變化時估計結果

5 結論

(1)在無失效數據Bayes估計方法中，先驗信息的選取對結果的影響很大。在先驗信息準確的情況下，可以得到相對準確的估計結果。

(2)在Bayes估計中，先驗信息的改變對估計結果的影響更明顯，截尾時間的影響相對較小。

(3)從理論上說，方法1更可靠些，但需要較多的形狀參數歷史數據；方法2則相對簡單易行。因此，具體使用哪種方法需要根據實際情況而定。

此外，文中提出的方法能否在軸承可靠性估計中推廣使用，還需要更進一步的實踐檢驗，畢竟Bayes法先驗信息的取得在很大程度上是主觀的。