基于GARCH模型的我國股市風險分析

張亮旭，卓榮康

（蘭州商學院金融學院，甘肅蘭州730020）

基于GARCH模型的我國股市風險分析

張亮旭，卓榮康

（蘭州商學院金融學院，甘肅蘭州730020）

通過對上證指數(shù)收盤指數(shù)進行實證分析，采用正態(tài)分布、t分布和GED分布分別刻畫收益率序列特征，運用GARCH模型對收盤指數(shù)序列進行波動性建模.根據(jù)GARCH模型的估計結果計算出VaR和CVaR值.由結果可知，通過計算GED分布下的GARCH（1,1）模型的CVaR值是衡量股市風險的最佳模型.

上證指數(shù)；GARCH模型；VaR方法；CVaR方法

1 引言

1.1 背景

我國股票市場處于發(fā)展初期，起步于計劃經(jīng)濟向市場經(jīng)濟轉型的環(huán)境中，存在種種缺陷，具有與發(fā)達成熟市場不同的特點.而且，隨著美國次貸危機的爆發(fā)對全世界金融領域的沖擊，更加加劇了中國股市的劇烈波動和風險系數(shù).所以，如何用更加謹慎科學的方法對其風險進行正確的度量、分析和管理，對于金融機構加強風險管理和國家制定監(jiān)管制度具有重大意義.

本文選取VaR和CVaR兩種市場風險測度方法.波動率的計算通過GARCH模型族計算而得，且根據(jù)金融資產(chǎn)收益序列的尖峰、厚尾現(xiàn)象假設收益率服從正態(tài)分布、t布和GED分布（廣義誤差分布）三種情況，通過通過比較真實值，得出最佳的估計模型.

1.2 文獻綜述

目前金融市場風險測量的主流方法是VaR（Value-at-Risk）方法.VaR是一定的置信水平下，資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在未來特定一段時間內的最大可能損失.根據(jù)Jorion（1996）[1]VaR可定義為

VaR=E(w)-w*E(w)為資產(chǎn)的預期價值，w為資產(chǎn)的期末價值，w*為置信水平下資產(chǎn)的最低期末價值.若設w0為持有期初資產(chǎn)價值，R為回報收益率，持有年限為Δt，R*為資產(chǎn)在置信水平下的最低收益率，zα為在一定分布下置信水平為α的函數(shù)返回值，σt為收益率的方差，則

條件風險值（conditional value at risk，CvaR）是繼VaR之后產(chǎn)生的又一種風險度量方法.根據(jù)Uryasev[2]與Rockafellar[3]的定義，CVaR是超過VaR的損失的期望值.更為確切的是指在一定的置信水平下，某一資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的損失超過VaR的尾部事件的期望值.用公式表示為

式中：α為置信水平，w為資產(chǎn)的價值，f(w)為概率密度函數(shù)，VaRα為置信水平α下的風險值，F(xiàn)-1是逆累積分布函數(shù)，f(x)為密度分布函數(shù)，u和α為收益序列的特征參數(shù).

對VaR和CVaR的計算和預測其實質是對波動率的計算和預測.1952年，Markowitz提出均值-方差模型來描述資產(chǎn)或資產(chǎn)組合收益率的波動性，開創(chuàng)了金融市場風險測度的定量的方法，標志著現(xiàn)代組合投資理論的開端.Engle（1982）[4]提出自回歸條件異方差（ARCH）模型，將條件方差作為過去誤差的函數(shù)而變化，解決了異方差問題，提高了模型的準確度.在此基礎上Bollerslev（1986）[5]提出了廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型.GARCH模型比ARCH模型滯包含的滯后結構要更加寬泛準確.GARCH（1,1）模型可以表示為：

第一個方程為條件均值方程，Xt是解釋變量向量，γ是系數(shù)向量.第二個方程為條件方差方程，其中，第一項為常數(shù)項α0，第二項用均值方程的擾動項的平方的滯后來度量從前期等到的波動性信息u2t-1，第三項上一期的預測方差σ2t-1.

為了描述時間序列受自身方差影響，Engle,Lilien和Robins(1987)[6]提出了GARCH-M模型.為了描述證券市場中的非對稱效應，Zakoian(1990)[7]最早提出的TARCH模型，Nelson(1991)[8]提出的EGARCH（指數(shù)GARCH）模型既能描述條件異方差性，又能反映杠桿效應.優(yōu)點是用成指數(shù)形式表示條件異方差，對參數(shù)沒有任何約束.Taylor(1986)和Schwert（1989）介紹了標準差的GARCH模型，這個模型模擬的不是方差而是標準差.這樣大幅沖擊對條件方差的影響比在標準的GARCH模型中要小.Ding et al.（1993）[9]對該模型進一步拓展提出PARCH（Power ARCH）模型.

由于受到市場發(fā)展水平、參與者理性程度及其對利好和利空信息的反應不同等眾多因素的影響，股票收益率序列往往不是正態(tài)分布，然而一般的研究卻沒有充分考慮收益率的分布特征，因此本文假設收益率符合三種分布：正態(tài)分布、學生t分布、GED分布，并分別計算VaR和CVaR值，已達到更好解釋收益序列的尖峰厚尾和波動率聚類現(xiàn)象.

2 實證研究

2.1 數(shù)據(jù)選取

本文選取上證指數(shù)在1000個交易日的收盤指數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，區(qū)間為2009年1月21日～2013年3月6日.本文數(shù)據(jù)來源于錢龍證券投資分析系統(tǒng).本文采用Eviews6.0和Mathematica8.0軟件對數(shù)據(jù)進行處理及分析.

2.2 統(tǒng)計性描述

本文采用對數(shù)收益率對上證指數(shù)進行研究，表達式如下：

其中：pt表示第t個交易日的收盤指數(shù)，Rt為日對數(shù)收益率.

從圖1可以看出，上證指數(shù)收益率有著明顯的波動聚集性，即有相似特征的波動成群出現(xiàn)，高收益率與高收益率聚集，低收益率與低收益率聚集.而且，收益率在相對集中的區(qū)域有著較大的波動，有著明顯的異方差性.從圖2可以看出，上證指數(shù)收益率均值為0.000168，標準差為0.014252，都不是很大，但是偏度為-0.401837，峰度為5.102900，比較正態(tài)分布可以得出，序列是左偏且有“尖峰厚尾”特征.J-B為210.9588，其P值為0，更進一步說明上證指數(shù)收益率序列不服從正態(tài)分布，故應采用其學生t分布或GED分布進行回歸分析.

圖1 上證指數(shù)日收益率序列圖

圖2 上證指數(shù)日收益率序列描述性統(tǒng)計

2.3 平穩(wěn)性檢驗

表1 上證指數(shù)日收益率序列單位根檢驗

為了防止偽回歸的出現(xiàn)，我們對收益率序列進行ADF單位根檢驗，以保證序列是平穩(wěn)的，結果如表1所示.

由表1可看出，ADF-t統(tǒng)計量的絕對值遠大于1%、5%、10%水平下的絕對值，且ADF-t統(tǒng)計量P值為0，則拒絕原假設，說明不存在單位根，序列是平穩(wěn)序列.

2.4 自相關和偏自相關檢驗

根據(jù)序列的自相關和偏相關系數(shù)及Q統(tǒng)計量，可以確定自回歸項的階數(shù)，以便建立均值方程.我們對收益率序列進行滯后12階的自相關與偏自相關檢驗，由圖3可以看出，自相關與偏自相關系數(shù)均落入兩倍的估計標準差內且自相關與偏自相關系數(shù)接近于零，而且Q統(tǒng)計量對應的p值都大于0.05，即收益率序列不存在明顯的相關關系，因此，均值方程中不引入自相關描述部分.

圖3 上證指數(shù)日收益率序列自相關和偏自相關檢驗

2.5 建立GARCH模型族

2.5.1 均值方程的建立

有上述分析可知，上證指數(shù)日收益率序列具有尖峰、后尾的特征，其波動波動聚集性等特征，如果在正態(tài)分布下估計Var和CVaR值容易高估風險，因此我們選用t分布和GED分布對Var和CVaR值進行估計；且收益率序列不存在明顯的相關關系，因此我們以收盤指數(shù)為對象建立以下模型：

回歸得到如下結果：

表2 均值方程3階ARCH-LM檢驗

R2=0.989214，AIC=-5.662787，SC=-5.657875

圖4 均值方程殘差平方相關圖

從結果看，方程有較好的擬合效果，為了檢驗是否存在ARCH效應，我們對殘差進行了ARCH-LM檢驗，發(fā)現(xiàn)存在著3階的ARCH效應，并從殘差平方相關圖可以得到證實.考慮到存在高階的ARCH效應，應建立GARCH模型.經(jīng)過反復實驗，用GARCH（1,1）模型取得較好的效果.

2.5.2 GARCH（1,1）模型的建立

條件均值方程為lnpt=lnpt-1+ut，

條件方方差方程為σt2=α0+αu2t-1+βσ2t-1

從模型的估計結果來看，三種分布下γ，α，β的估計值在1%的水平下均顯著，方程的擬合度提高，AIC和SC值有所下降，α0，α，β非負且三者之和小于1，滿足約束條件，說明GARCH（1,1）模型能較好的模擬收益率波動情況.而且對殘差進行GARCH-LM檢驗及從殘差平方相關圖可以明顯看出，模型已不存在ARCH效應.

表3 三種分布下GARCH（1,1）模型的估計結果及和原方程的對比

表4 GARCH（1,1）-gauss模型的1階ARCH-LM檢驗

2.5.3 EGARCH（1,1）模型建立

條件均值方程為lnpt=γlnpt-1+ut，條件方差方程為

當ut-1≥0時，α+λ倍沖擊；當ut-1＜0時，λ-α倍沖擊.

圖5 GARCH（1,1）-gauss模型的殘差平方相關圖

從表5的結果來看，參數(shù)λ不顯著，擬合度有所降低，但AIC值有所降低.但GARCH-LM檢驗及從殘差平方相關圖可以看出，此模型也同樣不存在ARCH效應.

表5 三種分布下EGARCH（1,1）模型的估計結果

2.5.4 GARCH（1,1）模型和EGARCH（1,1）模型估計結果分析

從表3和表5可以看出，GARCH（1,1）模型和EGARCH（1,1）模型中參數(shù)的估計值都小于或接近零，說明我國股票的平均收益率水平為負，投資風險較大.參數(shù)都大于零說明了價格的波動聚集性特征，即過去價格的波動對市場未來的波動有著正向但減弱的影響，大幅度波動后面一般緊隨著更大幅度的波動，小幅度波動后面一般緊隨著跟小幅度的波動，但是這種影響慢慢減弱，說明我國股市參與者投機性較強，羊群效應明顯.參數(shù)β明顯大于α，這意昧著意外信息對未來價格的波動產(chǎn)生相對較小的影響，說明我國國股票市場不易受到意外信息影響，主要受上期波動的影響.由于模型中α+β的值均非常接近于1，說明我國股票市場的波動具有持續(xù)性，當前的信息對預測未來的價格波動即條件方差很重要.

圖6 EGARCH（1,1）-gauss模型的殘差平方相關圖

表6 EGARCH（1,1）-gauss模型的1階ARCH-LM檢驗

圖7 Gauss分布下ut/σt沖擊對波動率σt2的影響曲線

圖8 Student-t分布下沖擊ut/σt對波動率σt2的影響曲線

圖9 GED分布下沖擊ut/σt對波動率σt2的影響曲線

參數(shù)λ小于零表示利空消息對股票價格波動的影響大于利好消息的影響.從三種分布的ut/σt沖擊對波動率σt2的影響曲線圖，我們可以得到，在gauss分布下，當ut-1≥0時，0.090206倍沖擊；當ut-1＜0時，-0.105386倍沖擊.同理，在Student-t分布下，當ut-1≥0時，0.073824倍沖擊；當ut-1＜0時，-0.090062倍沖擊；在GED分布下，當ut-1≥0時，0.008074倍沖擊；當ut-1＜0時，-0.03224倍沖擊.這跟我們現(xiàn)實相符，利空消息對股價的的影響往往利好的消息影響大.在利好的消息下，gauss分布下波動率σt2的影響最大，曲線右側較陡；在利空的消息下，gauss分布下波動率σt2的影響最大，曲線左側較陡.而且可以看出，GED分布的非對稱性最大.

2.6 VAR及CVAR計算

由于EGARCH(1,1)模型中參數(shù)λ不顯著，所以我們選擇GARCH（1,1）模型計算出條件標準差的估計值，代入公式求VaR值和CVaR值，并采用失敗檢驗法檢驗.

從表6的計結果來看，在95%的置信水平下GARCH（1,1）-gauss模型中，股票持有者每天面臨的最大損失不超過118.9671，平均損失不超過59.93239.在GARCH（1,1）-t下風險均值最大，標準差也最大，說明t分布計算的VaR值和CVaR值波動最大，VaR值和CVaR值是最分散的.在GARCH（1,1）-gauss下VaR均值最小，標準差也最小，而在GARCH（1,1）-GED下CVaR均值最小，標準差也最小，說明VaR值在GARCH（1,1）-gauss下波動最小，CVaR值在GARCH（1,1）-GED下波動最小.

表6 GARCH（1,1）模型的VAR及CVAR值序列的統(tǒng)計量

從表7的結果可以看出，失敗率在95%置信水平下都位于4%附近，CVaR值比VaR值的實際失敗率較小，說明CVaR較VaR高估風險，是一種更保守的計算.從GARCH（1,1）模型和EGARCH（1,1）模型估計結果來看，滬市股票的均衡收益率水平為負，市場的風險較大且有較大集群特征和投機性，因此應選擇較保守的投資策略，用CVaR值衡量股市風險更為合理.使用Kupiec[10]的似然比率檢驗方法進行模型的有效性檢驗，發(fā)現(xiàn)LR統(tǒng)計量在95%置信水平下的臨界值為3.841，只有GARCH（1,1）-GED下的VaR和CvaR通過了檢驗.此外，CVaR值在GARCH（1,1）-GED下波動最小，因此我們選擇GARCH（1,1）-GED模型更為合理.

表7 GARCH（1,1）模型的VAR及CVAR值的實際失敗率

3 結論

本文對上證指數(shù)的收盤指數(shù)序列進行了GARCH模型和EGARCH模型的波動性建模，以GARCH模型為基礎計算得到不同分布假設下的VaR和CVaR估計值，以EGARCH模型為基礎研究其不對稱性，并得到以下結論：

3.1 上證指數(shù)日收益率序列具有尖峰、厚尾和波動聚集性等特征，如果按通常的正態(tài)分布假設估計VaR值和CVaR值容易高估風險，因此應選用t分布或GED分布假設更合理；且收益率序列不存在明顯的相關關系，不能用ARCH模型建立起均值方程，因此我們以收盤指數(shù)建模型，取得較好的擬合效果.

3.2 分別建立在三種分布下的GARCH（1,1）模型和EGARCH（1,1）模型來描述收益率的波動情況.結果表明，我國股票市場的風險較大，有較強的羊群效應和投機性；從信息沖擊曲線可以看出，利好消息對價格波動的影響小于利空消息對價格波動的影響.

3.3 運用擬合效果較好GARCH（1，1）模型計算95%置信水平下的上證指數(shù)的VaR和CVaR值，從VaR和CVaR值的統(tǒng)計特征和LR統(tǒng)計量，結合我國股市的投機性的特征來看，選擇較保守的投資策略更為合理，即通過GARCH（1,1）-GED模型計算CVaR值來預測股市風險.

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F830.91

A

1673-260X（2013）07-0040-05