關于多目標錐約束最優化問題的弱Pareto最優的相關性質

李倫

（西華師范大學,四川 南充637002）

關于多目標錐約束最優化問題的弱Pareto最優的相關性質

李倫

（西華師范大學,四川 南充637002）

在這篇文章中，解決了一類多目標錐約束最優化問題（簡稱VP）的弱ε-有效解及其解的緊致集合的存在性.我們還給出了該VP問題的標量最小化問題和在滿足一定條件下得到該VP問題的弱ε-有效解存在的充要條件.此外，基于該VP問題的拉格朗日乘子，還建立了一類無約束的向量優化問題，以及在一定的假設條件下，得到它們的等價性.

多目標最優化問題；弱ε-有效解；ε-Pareto

Kutateladze[4]最早提出了向量極小化問題解的概念.之后，很多學者研究了向量最優化問題的各種近似解，并且得到了一些有關向量最優化問題的 最新結論[1,2,5,6,7,8].例如，V'alyi[15]定義了向量最優化問題的各種有效近似解.李和陳[10]研究了向量集值近似問題的鞍點理論.在這些研究中，ε-近似解的存在條件比精確解的存在條件更弱.因此，我們有必要研究矢量最優化問題的ε-近似解[3，6，7].

1 預備知識

設Rl是l維的歐幾里德空間.K是Rl中的一個非空子集，如果λK?K,?λ>0,那么，K是凸的.如果K+K?K且K是凸的，那么K是凸錐.設P是Rl中的閉凸子集，集合P*?Rl是P的正極錐.

則可以得到：

（1）如果v∈intP*，那么對?x∈P{0}恒有〈x,v〉>0；

（2）如果v∈intP，那么對?x∈P*{0}恒有〈x,v〉>0；

（3）如果P1,P2是Rl的閉凸子集且P1?P2，那么P*2?P*1.

接下來，設E是Rn的非空閉凸子集，Q是Rk的閉凸錐中的一個點且intQ≠Φ和S是Rm的閉凸錐中的一個點且intS≠Φ.f:E→Rk和g:E→Rm都是向量集值映射，我們將考慮以下的多目標椎約束最優化問題（簡稱VP）：

其中，f(x):=(f1(x),…,fk(x))T和g(x):=(g1(x),…,gn(x))T，上標T表示轉置.

我們用F:={x∈E:g(x)∈-S}表示VP問題的可行解.在本文中，我們假設F≠0.

首先，我們來回顧一些本文主要結果所必要的定義和引理.

定義1.1設ε∈Q，點x0∈F是VP問題的弱ε-最小解，如果不存在x∈F使得

如果x0∈F是VP問題的弱ε-最小解，那么fx0)是VP問題的弱ε-最小點.

定義1.2設ε∈Q，點x0∈F是VP問題的弱ε-最小解，如果不存在x∈F使得

f(x)-f(x0)+ε∈-Q{0}.

如果x0∈F是VP問題的弱ε-最小解，那么f(x0)是VP問題的弱ε-最小點.

我們用ε-Wmin(VP)表示VP問題的弱ε-有效解集，用ε-Min(VP)表示VP問題的ε-有效解集.易知，ε-Min(VP)?Wmin(VP).

定義1.3稱f是Q-凸，如果對?x,u∈E和λ∈(0,1)，

備注1.1容易知道，如果f是Q-凸，那么f(E)+Q是凸的.實際上，設u,v∈f(E)+Q和?t∈(0,1),都存在x,y∈E和c,d∈Q，滿足u=f(x)+c和v=f(y)+d.由E的凸性意味著t x+(1-t) y∈E，因為P是凸錐，f是Q-凸，所以

也就是說，f(E)+Q是凸的.

備注1.2易知，f是Q-凸，g是S-凸，那么(f,g)T是Q× S-凸.

定義1.4[9]f在點x∈E處Q-連續，如果對?f(x)在RK上的鄰域V，都存在x在Rn上的鄰域U，滿足

如果E內任何點處Q-連續，則稱f在E內Q-連續.

備注1.3可以明顯看出，f連續?Q-連續.

本文主要研究了VP問題的弱ε-有效解的存在性和緊致解集.我們還給出了該VP問題的標量最小化問題和在滿足一定條件下證明了ε-WminVP)非空的的充要條件.此外，基于該VP問題的拉格朗日乘子，還建立一類無約束的向量優化問題，以及在一定的假設條件下，得到它們的等價性.

2 ε-的非空性和緊致性

這一節中，在一定的假設條件下，我們研究了ε-Wmin(VP)的非空性和緊致性.

引理2.1[2]設A是Rn上的一個非空緊密子集.h:A→Rk在A上Q-連續，u∈Q*，存在x∈A滿足

由引理2.1，我們得出了下面的結論.

定理2.1 設E是Rn上的一個非空緊密子集.f:E→Rk在E上Q-連續，g:E→Rm在E上連續，設ε∈Q{0}，則有ε-Wmin(VP)?ε-Min(VP)≠Φ.

證明 因為g在E上是連續的，S是閉的，F:={x∈E,g(x)∈-S}是E上的一個閉子集，又因為E是緊的，所以F也是緊的.設u∈intQ*，由引理2.1可知，存在x∈F滿足：

又由于u∈intQ*，ε∈Q{0}和〈ε,u〉>0.則存在xε∈F滿足

為了證明ε-Wmin(VP)?ε-Min(VP).因此，我們只需要證明xε∈ε-Min(VP).假設xε?ε-Min(VP).那么存在x0∈F，滿足

因為u∈intQ*，可以得到：

或者

由

（2.2）和（2.3）可以得到

〈f(x0),u〉<〈f(xε),u〉-〈ε-u〉≤〈f(x),u〉

這與（2.1）矛盾，結論得證.

接下來，在一定的條件下，我們將研究ε-Wmin(VP)的緊致性.

定理2.2 設E是Rn上的一個非空緊密子集.f:E→Rk在E上Q-連續，g:E→Rm在E上連續，設ε∈Q，如果ε-Wmin(VP)≠Φ，那么ε-Wmin(VP)的緊致的.

證明 因為g在E上是連續，S是閉的，E是緊的.F:= {x∈E,g(x)∈-S}也是緊的，備注中提到ε-Wmin(VP)?F.因此，只需要證明ε-Wmin(VP)是閉的.從這一點考慮，設{xn}?ε-Wmin(VP)是一個收斂于x0的收斂序列.可以明顯得出，當x0∈F時，有x0∈ε-Wmin(VP).假設x0?ε-Wmin(VP)，則存在x^∈F滿足f(x^)+ε-f(x0)∈-intQ.

因此，f(x0)∈f(x^)+ε+intQ.

下一步，我們證明f(x^)+ε+intQ是開的.因為f在E上Q-連續，則存在n0>0,對?n>n0滿足

或者f(x^)+ε-f(xn)∈-intQ.

易知，xn?ε-Wmin(VP)這與{xn}?ε-Wmin(VP)矛盾.

結論得證.

由定理2.1和2.2可以得出以下結論.

定理2.3 設E是Rn上的一個非空緊密子集.f:E→Rk在E上Q-連續，g:E→Rm在E上連續，設ε∈Q{0}，則ε-Wmin(VP)是非空緊集.

下面給出的例子很容易驗證定理2.3.

和 g(x)=(x-1,1-x)T,?x∈E,

又由于，f在E上Q-連續，g在E上連續，和F=[0,1]那么，很容易得到：

ε-Wmin(VP)=F=[0,1],是緊的.

〔1〕C.Gutiérrez,B.Jiménez and V.Novo,A property of efficient and efficient solutions in vector optim ization, Appl.Math.Lett.18(2005),409-414.

〔2〕H.Huang,Characterizations for the nonemptiness and compactness of the set of weakly efficient solutions, Southeast Asian Bull.Math.29(2005),895-902.

〔3〕J.Jahn,Mathematical vector optim ization in partially ordered linear spaces,Methods and Procedures in Mathematical Physics,31.Verlag Peter D.Lang,Frankfurt am Main,1986.

〔4〕S.S.Kutateladze,Convex programming,Soviet Math. Dokl.20(1979),391-393.

〔5〕Z.F.Li and G.Y.Chen,Lagrangian multipliers,saddle points,and duality in vector optim izatioNOf set-valued maps,J.Math.Anal.Appl.215(1997),297-316.

〔6〕J.C.Liu,properly efficient solutions to nondifferentiable multiobjective programm ing problems,Appl. Math.Lett.12(1999),109-113.

〔7〕W.D.Rong and Y.N.W u,weak m inimal solutions of vector optim ization problems w ith set-valued maps, J.Optim.Theory Appl.106(2000),569-579.

〔8〕I.Vályi,Approximate saddle-point theorems in vector optim ization,J.Optim.Theory Appl.55(1987),435-448.

〔9〕D.T.Luc,Theory of Vector Optim ization,Lecture Notes in Econom ics and Mathematical Systems 319, Springer-Verlag,Berlin,1989.

O 221.6

A

1673-260X（2013）10-0001-02

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