關于整數矩陣及其整變換的研究

初麗

（大連理工大學 城市學院 基礎教學部，遼寧 大連116600）

關于整數矩陣及其整變換的研究

初麗

（大連理工大學 城市學院 基礎教學部，遼寧 大連116600）

通過定義整初等變換，給出了整數矩陣可逆的充要條件以及利用整初等求解整數矩陣的結論，并最終利用整初等變換將整數矩陣化為等價的對角標準型.

整數矩陣；整初等變換；逆矩陣

實際生活中很多問題最終都轉化為方程組的研究，例如石油探測：當勘探船尋找海底石油儲藏時，它的計算機每天要解幾千個線性方程組的地震數據從氣噴槍的爆炸引起水下沖擊波獲得，這些沖擊波引起海底巖石的震動，并用幾英里長的電纜拖在船后的地震測波器采集數據.而矩陣在解決方程組問題時，起著很重要的作用，對矩陣的研究變得尤為重要，這里研究整數矩陣的一些性質.

1 預備知識

定義 矩陣的整初等行(列)變換是對一個矩陣施行下列變換，其中k為整數

(1)交換矩陣的兩行(列)，如第i，第j行(列)的位置.記為Rij(Cij).

(2)用一個不等于零的數k乘矩陣的某一行(列)，如第i行(列)，即用k乘矩陣第i行(列)的每一個元素.記為k Ri(k Ci).

(3)用某一個數k乘矩陣的某一行(列)，如第j行(列)后加到另一行(列)，如第i行(列)上，即用k乘矩陣的第j行(列)的每一個元素加到第i行(列)的對應元素上.記為Ri+k Rj(Ci+k Cj).

定義 整初等行(列)變換矩陣

(1)整換法矩陣：單位矩陣En交換第i行和第j行.記為E(i,j).

(2)整倍法矩陣：單位矩陣En第i行乘以一個非零整數k.記E(i(k)),k≠0；

(3)整消法矩陣：單位矩陣En第j行乘以一個整數，加到第i行上去.記為E(i+j(k),j).

2 整數矩陣及其逆矩陣

2.1 定理

設n階矩陣A是數矩整陣(即元素全為整數)，若A可逆，且逆矩陣也是整數矩陣的充要條件是|A|=±1.

2.2 定理

若整數矩陣A可經整初等行(列)變換求其逆矩陣，則整倍法變換中k=±1.

證明：若第一列中有元素有1，則將其所在行于第一行變換，并且下面的元素消為零；若第一列中有元素沒有1，則看是否存在第一列元素的整線性組合為1，依次下去得到A-1.

特別對于n階整數正交矩陣A，由于|A|=±1，故A-1也是整數矩陣，根據正交矩陣的充要條件

則整數正交矩陣A是由處于不同行、不同列的n個1或-1元素構成，其余元素均為0.對A施行整換法變換和整倍法變換(k=-1)得到單位矩陣E，于是右邊可得到A-1.

對于一般的整數矩陣A，|A|±1，可用初等變換得到A-1.且為整數矩陣.由于我們對A進行一系列初等行變換相當于左乘相應的一系列初等矩陣.假設對整數矩陣A可經過一系列整初等行變換化為單位矩陣，即存在初等矩陣P1,P2,…,Ps，使得

若初等矩陣P1,P2,…,Ps均為整數矩陣，則兩邊取行列式得到

而整初等矩陣是由E進過整初等行變換而來，整換法變換和整消法變換不改變行列式，而整倍法變換可改變行列式.若某個整數陣經矩過一次整倍法變換，則相當于左乘以相應的整初等矩陣E(i(k)),k≠0，要保證積為1，則一定存在某個由于是整初等變換，故k只能去±1.

2.3 定理

整數矩陣A，若|A|=±1，則A可經過整初等行變換求其逆矩陣，且逆矩陣仍為整數矩陣.

證明 對于n階整數矩陣A可逆，且逆仍為整數矩陣，則|A|=±1.不妨設|A|=1，取A第一列中絕對值最小的元素，不妨設為a11:

(1)若第一列中其它元素可被a11整除，則A可經過行的整消法變換化為

(2)若第一列中存在元素不能被a11整除，不妨設為aji，即aj1=a11g+r，其中|r|<|a11|.于是A可經過行的整換法變換和消法變換化為

①若r能整除第一列中的其它元素，則B1可經過行的整消法變換化為

②若r不能整除第一列中的某個元素ak1，即ak1=r g1+r2，其中|r2|<|r|.于是B1可經過行的整換法變換和消法變換化為

如此下去，可經過一系列行的整換法變換和消法變換得到矩陣

其中rs能整除第一列中的其它元素，于是可化為

由于整換法變換和消法變換不改變行列式的值，故|A|=rsAs*=1，且rs∈Z，As*∈Z，故rs=1，As*=1.As*是n-1階矩陣，同理可經過一系列行的整換法變換和消法變換化為

如此下去，A可經過一系列行的整換法變換和消法變換化為E，于是可得到A-1.

3 整數矩陣的對角化

引理1 設整數矩陣A的左上角元素a11≠0，并且A中至少有一個元素不能被它除盡，那么一定可以經過整換法變換，整消法變換，找到一個與A等價的矩陣B，它的左上角元素也不為零，但是它的絕對值比a11的絕對值小.

推論 對于整數矩陣A，一定存在可逆的整數矩陣T1T2，使得

證明 有上定理的證明可知，在得到一系列彼此等價的整數矩陣A,B1,B2…的過程中，就是對原整數矩陣進行整初等換法變換和消法變換，也相當于左乘和右乘相應的整初等矩陣P1,P2,…Ps，Q1,Q2…Qt，即

且di|di+1,i=1L r-1,di∈Z.

〔1〕北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2002.

〔2〕蕭樹鐵，居余馬.高等數學第一卷基礎與代數[M].北京：清華大學出版社，1995.

〔3〕Anton H,Rorres R,Elementary Linear Algebra Applications Versin,Sixth Edition,New York：John W iley&Sons,1991.

〔4〕Lay D C,Linear Algebra and Its Application,Second Edition,New York：W esley Longman,2000.

〔5〕N icholson W K,Linear Algebra w ith Application,Third Edition,Boston：PWS Publishing Company,1995.

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1673-260X（2013）10-0003-02