無(wú)窮和式極限求解的幾種方法

蔡 瑾，劉 寧

（1.健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院 職業(yè)發(fā)展教育中心，江蘇 太倉(cāng)215411；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新123000）

無(wú)窮和式極限求解的幾種方法

蔡 瑾1，劉 寧2

（1.健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院 職業(yè)發(fā)展教育中心，江蘇 太倉(cāng)215411；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新123000）

在理工科高等院校，幾乎每個(gè)專業(yè)都開(kāi)設(shè)有高等數(shù)學(xué)這一門課.其中，作為極限學(xué)的一部分，和式極限計(jì)算方法極其重要，被應(yīng)用的也十分廣泛，但同時(shí)也是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).鑒于其重要影響，如何正確地分析和探求和式極限就變得尤為關(guān)鍵.為此，本文對(duì)其較常見(jiàn)的幾種求法進(jìn)行了歸納，并簡(jiǎn)單做了一下介紹.

和式極限；求解方法

作為數(shù)學(xué)分析學(xué)的基本工具，極限的地位相當(dāng)重要，尤其是在函數(shù)和數(shù)列的研究工作上，更是發(fā)揮著不可代替的作用.極限與其他諸多概念之間都保持著很緊密的聯(lián)系，它是一個(gè)獨(dú)立的知識(shí)體系，同時(shí)也對(duì)連續(xù)導(dǎo)數(shù)積分等有著一定的影響.作為極限重要的一部分，和式極限和定積分以及無(wú)窮級(jí)數(shù)之間有著密切關(guān)聯(lián)，在極限中萬(wàn)分難得.很多相關(guān)書籍都或多或少對(duì)和式極限均有提及，只是缺少了專題性的探討研究.為此，本文將其做了一個(gè)總結(jié).

1 定積分定義法

對(duì)于高等數(shù)學(xué)，很多情況下要對(duì)函數(shù)極限進(jìn)行計(jì)算，這在教學(xué)過(guò)程中是一個(gè)難點(diǎn).求函數(shù)極限的途徑有很多，但如果極限以無(wú)窮和式的形式出現(xiàn)時(shí)，就不能再簡(jiǎn)單地用一些普遍算法進(jìn)行計(jì)算了，無(wú)窮和式指的是無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小之和.遇到此情況時(shí)，最常見(jiàn)的算法是先對(duì)該數(shù)列的前n項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，求出其和值，然后再求和式的極限.如果無(wú)窮數(shù)列的前n項(xiàng)和計(jì)算起來(lái)有較大難度，可采取利用定積分定義法對(duì)其極限進(jìn)行求解.

從定積分的定義中可知，定積分不但是積分和的極限，還是無(wú)窮和式的極限，即

所以，在對(duì)某些無(wú)窮和式的極限進(jìn)行計(jì)算時(shí)，只需將此和式的形式寫成某個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的積分和的形式，關(guān)鍵在于其函數(shù)f(x)和區(qū)間[a,b]的確定，如此即可通過(guò)定積分求得極限.

分析：本題所要解決的是n項(xiàng)和的和式形式，但其數(shù)列的前n項(xiàng)和在求算時(shí)有一定的難度，不可像例1（沒(méi)有例1）那般先求和值，再求極限值，而應(yīng)該采取一個(gè)不同的計(jì)算方法，利用定積分的定義來(lái)求.只要能找到函數(shù)f(x)以及區(qū)間[a，b]，形成的形式，就可將其轉(zhuǎn)化為定積分求值.

通過(guò)以上分析可知，其數(shù)列前n項(xiàng)和都是利用定積分的定義來(lái)完成計(jì)算工作的，證明了定積分定義法上的實(shí)用性和一些特點(diǎn).數(shù)列的無(wú)窮和式極限可按照定積分的定義對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為定積分的積分和的形式，即只要給出了函數(shù)f(x)和區(qū)間[a，b]，就可以通過(guò)計(jì)算定積分來(lái)求和式的極限.但是函數(shù)f(x)與區(qū)間[a，b]的選取方法并不固定，常常有很多種，在實(shí)際計(jì)算的過(guò)程中，應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，使選擇有一定的針對(duì)性，與計(jì)算內(nèi)容相符合.

2 分組拆項(xiàng)法

該方法就是把很多已知的公式進(jìn)行分組拆項(xiàng)，然后再求和式極限.

3 對(duì)和式變形求和式極限

該計(jì)算方法需要對(duì)將要求解的和式做一定的變形處理，然后運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)預(yù)算方法來(lái)求得和式極限.

兩者相減得：

4 利用數(shù)列部分和公式求和式極限

該方法主要是通過(guò)數(shù)列中的一些已知的部分和公式來(lái)計(jì)算和式極限.

5 付立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式求和式極限

在函數(shù)的付氏(尤其是正、余弦)展開(kāi)式中，在其收斂域內(nèi)選取適當(dāng)?shù)膞值，即可轉(zhuǎn)化為通過(guò)對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的討論求和式極限.

解 將f(x)＝2x2在[-π，π]展成余弦級(jí)數(shù)如下：

6 結(jié)束語(yǔ)

和式極限計(jì)算方法極其重要，被應(yīng)用的也十分廣泛，應(yīng)當(dāng)正確地分析和探求和式極限.為此，本文對(duì)其較常見(jiàn)的幾種求法進(jìn)行了歸納，并簡(jiǎn)單做了一下介紹.

〔1〕臧雨亭，李艷軍.和式極限的幾種求法[J].科技信息，2009,37（12）：132-134.

〔2〕陳思源.關(guān)于和式極限的幾個(gè)重要定理及其應(yīng)用[J].河南科學(xué)，2010,28（4）：213-215.

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1673-260X（2013）10-0011-02