利用多星矢量觀測信息進行天文導航定位技術的研究

李崇輝，李鑄洋，鄭 勇，張 超

（信息工程大學 導航與空天目標工程學院，鄭州 450001）

1 引言

傳統的天文導航定位原理都是基于天文定位三角形或高度差法來實現的，其顯著特點是以小視場光學成像系統為核心部件，由于觀測效率低下，所以每次進行導航定位時一般只能利用2－3個天體的觀測信息。然而要實現快速高精度的天文導航定位，就需要同時觀測多個天體的信息，并利用處理設備實時解算得到測站的位置［1-6］。目前大視場天文導航設備的出現使得人們能夠同時獲得多個天體的觀測信息，但是常用的導航定位方法還是傳統的定位三角形原理［7-9］，本文提出了一種基于矢量分析的，可以同時處理多星觀測信息的天文導航定位方法。其基本過程是確定觀測天體分別在地心赤道坐標系和地平坐標系中的位置矢量，并據此求得兩坐標系之間的轉換矩陣，根據該轉換矩陣即可求得測者的位置信息。

2 相關坐標系統及轉換

天文導航定位涉及多個坐標系統，如用于表示天體視位置的地心赤道坐標系，用于表示天體地平位置的地平坐標系，以及固連于觀測儀器的載體坐標系。為方便起見，假設天文觀測時載體精確水平，并且其航向指向正南，即載體坐標系與地平坐標系重合。

2.1 地心赤道坐標系

地心赤道坐標系的坐標原點位于地心，其X軸指向春分點，Y軸指向上點，Z軸指向北天極，X軸、Y軸和Z軸構成右手系。通常用赤經α和赤緯δ來表示天體在地心赤道坐標系中的坐標［10］，如圖1所示。

圖1 地心赤道坐標系

根據觀測時刻，從星表中可直接推算得到的天體的地心赤道坐標 （視位置），一般都表示為赤經和赤緯 （α，δ），也可用空間直角坐標表示為

式中

式中，Fe為地心赤道坐標系的單位坐標基，Xe、Ye、Ze分別為三個坐標軸方向上的單位矢量。

2.2 地平坐標系

地平坐標系的坐標原點位于測站中心，其X軸指向正南方向，Y軸指向正西方向，Z軸指向天頂，X軸、Y軸和Z軸構成左手系。通常用方位角A和高度角h來表示天體的地平坐標［9］，如圖2所示。

若觀測載體精確水平，并且天文觀測儀器的零軸指向正南方向，則可直接觀測得到天體的地平坐標 （A，h），也可用空間直角坐標表示為

式中，Fh為地平坐標系的單位坐標基，Xh、Yh、Zh分別為三個坐標軸方向上的單位矢量。

2.3 坐標系之間的轉換

地平坐標系到地心赤道坐標系之間的轉換需要以時角坐標系Ft為中介，其定義可參閱文獻［9］。若測站經緯度為 （λ，φ），首先以Y軸為旋轉軸，將地平坐標系系旋轉一個ψ角

使地平坐標系的Z軸與時角坐標系的Z軸重合。則可得轉換關系式為

然后從時角坐標系轉換到地心赤道坐標系，注意到地平坐標系和時角坐標系均為左手系，而地心赤道坐標系為右手系，因此轉換前應先將Y軸反向，并以Z軸為旋轉軸，將時角系旋轉一個θ角：

式中，S為觀測時刻的格林尼治恒星時，可由觀測時的協調世界時時刻換算得到［10］。旋轉后使時角坐標系的X軸與重合地心赤道坐標系的X軸重合，則可得轉換關系式為

綜合式 （6）及式 （8）可得地平坐標系到地心赤道坐標系之間的轉換關系為

從式 （9）中可以看出，地平坐標系到地心赤道坐標系之間的轉換矩陣只包含了測站的經度λ和緯度φ兩個未知參數。因此，只需要求得兩坐標系之間的轉換矩陣，即可解得測站經緯度。

3 雙星矢量天文導航定位

假設分別觀測了兩個天體σ1和σ2，其位置矢量分別為和，它們在地心赤道坐標系和地平坐標系中的矢量可表示為

式中，Ue、Ve和Uh、Vh分別為、在地心赤道坐標系和地平坐標系中的方向余弦，根據式 （1）及式 （3）可表示為

對坐標基進行單位化

記該坐標基為Fs

將式 （10）、式 （11）分別代入式 （14）、式（15）及式 （16）可得

其中，Cse為坐標基Fe和Fs之間的轉換矩陣，同理可得

式中，Csh為坐標基Fh和Fs之間的轉換矩陣，令坐標基Fh和Fe之間的轉換矩陣為Ceh，由式 （19）及式 （20）可得

因此即可求得

根據Fh和Fe之間的轉換矩陣Ceh和式 （9）即可解算測站的經緯度 （λ，φ），文獻 ［10］已進行過詳述。

4 多星矢量天文導航定位

4.1 方法一

若同時觀測了多個天體，實現多星矢量定位的一種方法是選擇其中任意兩個天體按照第3節的方法解算經緯度。理論上所有解得的經緯度應該一致，但是由于觀測誤差的存在，導致其結果必然存在差別，可根據最小二乘法加權求解測站經緯度的最優估值，具體原理為［11］：設共觀測了N個天體，則可構成個矢量對，從而求解得到測站經緯度為 （λi，φi），其中i＝1，2，…N（N－1）/2。設和之間的夾角為θi，若認為所有天體位置矢量的觀測精度一致，則容易證明，當和正交，即θi＝90°時的定位誤差最小，當θi＝0o或θi＝180o時定位誤差最大，故設定 （λi，φi）的權為

則根據最小二乘平差原理，最終的經緯度為［8］

4.2 方法二

基于式 （10）建立誤差方程，其原理是根據同一個天體在兩個坐標系中的矢量差異最小從而求解轉換矩陣，再根據轉換矩陣求解測站經緯度。

同一個天體在地心赤道坐標系和地平坐標系中的位置矢量可如式 （12）表示，將地平坐標系旋轉到與地心赤道坐標系相重合，設三個旋轉歐拉角分別為 （εx，εy，εz），可由旋轉矩陣A表示為

于是可得到第個i天體位置矢量在兩坐標系之間的轉換關系式為

由于觀測誤差的存在，導致式 （28）不可能嚴格成立，因此可建立誤差方程如下

式中，為待估矩陣，其中包含的三個旋轉參數為未知參數，其估計準則可設為

式中，‖·‖表示歐式二范數，這就是著名的Wahba問題［12］，目前有多種解法可求解得到旋轉參數 （εx，εy，εz）或旋轉矩陣A。根據式 （9）可知

根據式 （31）即可解得測站的經緯度 （λ，φ）。

5 結束語

傳統的基于球面三角形或高度差的天文定位方法只能利用天體的高度觀測信息，而忽略了天體的方位觀測信息。多星矢量天文導航定位方法同時考慮天體的方位角和高度角，并將每一個天體的觀測位置作為一個矢量進行計算，其核心是求解地平坐標系到地心赤道坐標系之間的轉換矩陣，因為其中包含測站位置信息。這不僅提高了觀測量的利用率，而且能用于高精度、高自動化、大數據量的天文導航定位。需要指出的是，本文為方便推導首先假設測者載體坐標系與地平坐標系重合，而實際導航定位過程中只需要利用水平基準裝置測得運載體的二維水平傾角，就能得到載體坐標系與地平坐標系之間的轉換矩陣，然后即可按照本文所述方法實現多星矢量導航定位。

［1］季必達，馮惠蘭.跨向21世紀的天文導航應怎樣發展［C］//世紀之交的導航技術文選.西安：中國電子學會導航分會，1998：30－38.

［2］王安國.現代天文導航及其關鍵技術［J］.電子學報，2007，35（12）：2347－2348.

［3］王安國.導航戰背景下的天文導航技術—天文導航技術的歷史、現狀及其發展趨勢［J］.天文學進展，2001，19（2）：326－330.

［4］李臨.國外天文導航技術與裝備最新發展綜述［J/OL］.［2012－12－26］.http：//www.cqvip.com/Main/Detail.aspx？id＝27671690.

［5］何炬.國外天文導航技術發展綜述［J］.艦船科學技術.2005，27（5）：91－96.

［6］VULFOVICH B，FOGILEV V.New Ideas for Celestial Navigation in the Third Millennium［J］.The Journal of Navigation，2010，63（2）：373－378.

［7］SEIDELMANN P K，DOGGETT L E，JANICZEK P M.Algorithms，Calculators，and Computers for Celestial Navigation［J］.Proceedings of the IEEE，1983，71（10）：1201－1204.

［8］張一平，龔志輝，王勃.基于大傾角的角錐體空間后方交會研究［J］.測繪工程，2012，21（2）：17－20.

［9］郁豐，熊智，屈薔.基于多圓交匯的天文定位與組合導航方法［J］.宇航學報，2011，32（1）：88－92.

［10］黃維彬.近代平差理論及其應用［M］.北京：解放軍出版社，1992：23－27.

［11］張超，基于電子經緯儀的天文測量系統及應用研究［D］.鄭州：解放軍信息工程大學，2009.

［12］WAHBA A.Least Square Estimate of Spacecraft Attitude［J］，SIAM Review，1965，7（3）：409－411.