啟迪思維是數學習題教學的首要

☉浙江省杭州第十一中學 蔡小雄（特級教師）

問題是數學的心臟，數學離不開問題和解，習題是“問題和解”的主要載體，習題教學是數學教學的重要環節.通過習題教學可以幫助學生鞏固知識、糾正偏差、強化技能、提高思維能力.思維能力是數學能力的核心.筆者認為，啟迪思維是數學習題教學的首要.教師應該在習題教學中，注重啟迪思維，完善學生的思維品質.

蘇霍姆林斯基曾告誡我們：“讓學生體驗到一種自己親自參加與掌握知識的情感，乃是喚起少年特有的對知識的興趣的重要條件.”啟迪思維就是要喚起學生的求知欲望，激發學生的學習熱情，使其快樂學習、“高思維量”地學習.

一、整體把握，重視系統思維能力

系統思維是指以系統論為思維基本模式的思維形態，在分析和處理問題的過程中，始終從整體出發，把整體放在第一位.

在數學習題教學中運用系統思維，就是要求我們應著眼在學生的“最近發展區”內編選習題，系統地設計習題的考查目標、知識覆蓋、題型題量、難度情況，做到適量適度，恰到好處，讓學生跳一跳就可摘得到.

如對于簡單知識的鞏固，可選擇有針對性的習題“對號入座”；對于較復雜、較綜合的知識與技能的鞏固與訓練，則應遵循循序漸進的原則，先分解成簡單的，然后再過渡到復雜的、綜合的技能訓練.圍繞目標要求，可把眾多的題目歸類、整理，設計成有序性的復習題組.對于某些重點知識，可以從多個側面選配習題，促進學生對重點知識的理解，獲得有關的解題技能.選題的內容、形式與解題方法要盡量體現多樣性.

對于同一道題的解答，也可發揮系統思維的優勢，從整體結構出發，巧妙過渡，準確尋得解題突破口.下面以知名大學的自主招生題為例.

二、問題驅動，形成辯證思維能力

辯證思維是指以變化發展的視角認識事物的思維方式.辯證思維是對思維對象作多方面、多角度、多側面、多方位的考察的一種觀點方法，是唯物辯證法在思維中的運用.習題教學中培養辯證思維就是要求我們在觀察問題和分析問題時，以動態發展的眼光來看待學生，看待課堂教學，強調課堂教學方式的非預設性、教學路徑的非直線性和教學內容的開放性等.

具體表現在教學內容上，要實行多樣化的、具有彈性的課程結構，突破知識壁壘，向所有相關知識開放，實行問題驅動、整合教學.在教學方法上，要從學生的元認知出發，巧妙設問，優化組合各種教學方法，辯證統一，啟迪思維.

三、輻射拓展，提高發散思維能力

發散思維又稱輻射思維、放射思維、擴散思維或求異思維.它是從一點出發，運用已有的基礎理論進行發散聯想，追求多樣性的解題方法和答案，并可以由此及彼、由表及里、觸類旁通，它的本質是活躍學生思維、拓寬學生視野，引導學生在問題的深度和廣度上進行探索.發散思維具有求異性、探索性、多發性等特點.

習題課教學是課堂教學的補充和深化，它的內容應是豐富多彩的，不受教學內容、教材的限制，教學方法應是靈活多樣的，如解題方法的探索，可以鼓勵學生一題多解、巧解，也可以鼓勵學生拓寬思維，嘗試一題多變、一題多用，引導學生通過改變敘述方式、數量關系、設問角度或因果關系、已知條件、題目類型等形式，從比較中尋找一類題的解題規律，促使學生從順、逆、側等不同角度去思考問題，有效地訓練學生思維的完備性、深刻性和創造性.

四、創設情境，培養直覺思維能力

數學的創造性離不開直覺思維.直覺思維活動本質上就是一種潛意識與顯意識之間相互作用、相互貫通的整體性創造過程.夸美紐斯有個重要觀點，就是一切知識生于感覺，一切知識都是從感官的知覺開始的.美國心理學家布魯納認為在學習的過程中，提出假設的階段主要依賴于直覺思維的作用.直覺思維的主要形式有直覺判斷、直覺猜測等.直覺思維能力的高低，很大程度上決定于學生已有的知識、經驗和觀察、思維的能力程度.一般說來，知識廣博、經驗豐富、觀察力強、思維靈活迅速的學生，其直覺思維能力較強.

習題教學就是要通過創設情境，喚醒學生的智慧，鼓勵學生認真觀察，大膽猜想.然而，實際教學中我們發現，不少學生急于求成，一拿到題就急于動手，往往不得要點，久攻不下.事實上，有些問題只要抓住問題的特點，洞悉問題的本質，就可快速解決.

如“求所有非負直角三角形ABC，使得tanAtanBtanC≤［tanA］+［tanB］+［tanC］，其中［x］表示不超過x的最大整數.”注意到在三角形ABC中，恒等式“tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC”成立，因此，題中的不等式可化為tanA+tanB+tanC≤［tanA］+［tanB］+［tanC］.根據取整函數的定義，易知tanA，tanB，tanC都是整數，且其中至少有兩個是正整數，不妨設tanA，tanB＞0，則由tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC知，tanC也是正整數.所以只要求tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC的正整數解.根據對稱性，不妨設tanA≥tanB≥tanC≥1，則tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC≤3tanA，所以，tanBtanC≤3，因此，原題只有一組解，即（tanA，tanB，tanC）=（3，2，1）.

五、注重聯想，完善形象思維能力

形象思維是指以具體的形象或圖像為思維內容的思維形態，形象思維屬于理性認識范疇，也是事物的本質和事物之間規律性的關系在人們頭腦中間接的、概括性的反映.它具有形象性、概括性、運動性和創造性等特征.形象思維是反映和認識世界的重要思維形式，是培養人、教育人的有力工具.

蘇聯著名數學家柯爾莫戈羅夫就曾指出：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化.”數學是研究“數”與“形”的學科，因此，在數學習題教學中加強形象思維的培養更有基礎、更有必要.

圖1

六、正難則反，關注逆向思維能力

逆向思維是一種比較特殊的思維方式，簡言之就是反過來思考問題.它要求我們善于從不同的立場、不同的角度、不同的層次和不同的側面去進行探索，當人們習慣于正向思維，尤其處于“山窮水盡疑無路”的困境時，逆向思維往往會出現“柳暗花明又一村”的境地.逆向思維是發現問題、分析問題和解決問題的重要手段，有助于克服思維定勢的局限性，是決策思維的重要方式.解題中的逆向思維方法主要表現形式為“反證法”，此處不贅述.筆者認為，習題教學中關注逆向思維能力的培養不僅僅體現在解題中，還體現在對原問題形式的逆向設問等方面.

如在講解教材中習題“過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，過點P和拋物線的頂點的直線交準線于M，求證：直線MQ平行于拋物線的對稱軸”時，待學生證完此題后，筆者要求其寫出原命題的逆命題“過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，過Q作MQ平行于對稱軸，交拋物線的準線于M點，求證：直線PM經過原點O”，并讓學生證明該命題是否正確.在教師的啟發下，學生順利完成了證明.這時，筆者進一步引導“能否將此問題中的拋物線改為橢圓、雙曲線”，學生們討論后發現以上問題都可以利用圓錐曲線的第二定義證明，解題過程中只要求比值相等，而和比值的大小無關，故無論是拋物線，還是橢圓、雙曲線，都有同樣的結論，還可用平面幾何的方法快速解答.

“數學是思維的體操.”啟迪思維是數學習題教學的首要，它符合學生的認知規律，能體現數學教育的實質性價值.“水本無華，相蕩乃成漣漪；石本無火，相擊乃發靈光.”優秀教師的魅力就在于挖掘樸實無華的習題背后所蘊含的豐富思維素材，創設情境，精心設計，合理重組，縱橫聯系，變單一為多元，變封閉為開放，啟迪思維，提高思維能力.

1.蔡小雄.從一個案例談數學探究的三重境界［J］.數學通報，2009（1）.

2.蔡小雄.習題教學中思維定勢負效應的校正策略［J］.中國數學教育，2008（3）.

3.蔡小雄.習題教學應注意跨越簡單的線性思維模式［J］.教學月刊，2007（7）.

4.蔡小雄.找準習題教學的黃金分割點［J］.教學月刊，2009（6）.