高中數學探究式教與學的策略

☉江蘇省鎮江中學 陸建根

在人類的學習活動中，包括兩種不同類型的學習方式——“接受性學習”和“探究式學習”.“探究式學習”能讓學生經歷知識與技能的形成與鞏固過程，經歷思維的發展過程，經歷問題的解決過程，從而將知識、技能、情感內化為生命中的財富.“探究式學習”能使學生的學習欲望得到激發，學習潛力得到拓展，真正成為知識建構的“筑路者”，在積累直接經驗、培養創新精神和實踐能力等方面有獨到之處.探究式學習需要探究式教學的引導，數學課堂采取探究式教學，不僅可以讓學生在探究的過程中獲取知識形成的體驗，更重要的是能為學生解決相關問題提供強有力的支撐，觸類旁通，舉一反三，并對后續發展產生影響.筆者依托自己的教學實踐，對高中數學探究式教與學進行了積極地探索，特作總結以供商榷.

一、類比求新，探求數學知識內在的聯結性

類比思維是依據兩個或兩類數學對象之間在某些方面的相似或相同推演出其他方面也相似或相同的一種重要思維與推理方式.通過類比思維，在類比中聯想，可以達到創新知識、升華思維的目的.

圖1

圖2

圖3

點評：有關類比遷移的研究表明，類比遷移是學習新技能、學習科學知識、進行科學發現和探索、培養創造性的一個重要途徑.這是因為學習不僅僅是簡單地增加新知識、掌握抽象規則，成功的學習經常依靠我們從記憶中提取相關的知識和技能，并以此為出發點去學習新的知識和技能，即類比遷移.因此，類比遷移的研究必將為我們學習新知識和技能、教育的改革和發展提供重要的實踐意義和指導意義.

二、歸納求同，探求數學知識應用的廣闊性

從不同情境問題的解法中總結共同的原理，不僅能加深對定理的理解，強化定理的應用，同時也較好地培養了學生有方向、有范圍、有條理的收斂性思維方式.

案例2 在《兩角和與差的正弦》教學中設計如下探究題：

題1：求sin 75°.

探究1：引導學生從題型角度思考（問題的表象）

探究2：從公式的字母意義角度思考（問題的表征）

探究3：從思維角度思考（問題的本征）

探究4：遷移到方程（問題的內涵與外延）

點評：為挖掘公式、定理的應用價值，學習中通過對上述題組的探究，從顯性到隱性再到自覺性的應用，就能逐步深化，有效地加深學生對公式、定理的理解與運用.教師在教學中通過引導學生探究、發現、總結，最終探尋出問題生成、發展、延伸的“根”，讓學生很好地把握了問題的本質.

三、發散求異，探求數學問題解決的多樣性

發散性思維，又稱求異思維，它是一種從不同的方向、途徑和角度去設想，探求多種答案，最終使問題獲得圓滿解決的思維方法.發散性思維可以鍛煉學生思維視野的廣闊性，提高學生的創造力.

案例3 已知向量a=（cos θ，sin θ），向量b=（，-1），求的最大值與最小值.

方法1：通過對向量的平方求模的最值

方法2：利用模的不等量關系求模的最值

方法3：利用向量的幾何含義求模的最值

圖4

點評：傳統教育只強調聚合思維（集中思維、求同思維、正向思維），而不強調發散思維（求異思維、逆向思維、多向思維），這是有其深刻的教育思想根源的.聚合思維要求學生對一切問題的認識理解都必須集中、統一到學科的理論體系和基本概念上來，其弊端是容易造成學生對書本、對教師、對權威的迷信，很難產生新的想法、新的思想.發散性思維，是一種從不同的方向、途徑和角度去設想，探求多種渠道，最終使問題獲得圓滿解決的思維方法.沒有發散思維就不會有任何創造性的萌芽和創造性的成果，因此發散性思維可以鍛煉學生思維視野的廣闊性，提高學生的創造力.

四、變式求深，探求數學方法的完備性

變式是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化.如果我們能對已有的例、習題進行拓展、變式、引申，那么一方面可以培養學生積極思考的習慣，提高學生學習的興趣；同時也達到深化理解數學知識、方法、思想的目的.

當且僅當x=時取等號.

當且僅當x=-1∈（0，1）時取等號.

當且僅當x=0時取等式號.

點評：變式教學通過變換問題的條件和結論，變換問題的形式，但不改變問題的本質，使本質的東西更凸顯、更全面.變式教學注意從事物之間的聯系和矛盾上來理解事物的本質，在一定程度上可以克服和減少思維僵化及思維惰性，從而可以更深刻地理解課堂教學的內容.

五、質疑求真，探求數學思維的嚴密性

教師以“認知沖突”為誘因創造問題情境，揭示學生認識上的矛盾，使之處于一種“心理失衡”狀態，促使學生為了達到新的“知識結構平衡”，不得不去尋找探求新的理論和知識點，以彌補這種不穩定的狀態.這樣一方面可以糾正學生已有的認識錯誤，另一方面可以對學生的心理智力產生刺激，喚起學生的學習興趣，同時也是知識建構、思維縝密遞進的需要.

圖5

結果顯示范圍擴大了，為什么？

學生討論得出：由-3＜a＜-1-＜b＜-1，得-4-＜a+b＜-2-，擴大了a+b的取值范圍.原因是什么呢？原來a，b是有聯系的，即a向-3靠近時，b并不是向-1-靠近.為此，求a+b的范圍還應從a，b的關系入手，那么，a，b間存在什么樣的聯系呢？

由a2+b2=2-2（a+b）變形為（a+1）2+（b+1）2=4，即為圓的方程，從而產生如下解法：

圖6

設t=a+b，由線性規劃知識可得t∈（-2-2，-4），所以ab+a+b的范圍為（-1，1）.

解法2：（參數法）由（a+1）2+（b+1）2=4及（a＜b＜-1）可設

故ab+a+b=（a+1）（b+1）-1=2sin θ·2cos θ-1=2sin2θ-1，

所以得ab+a+b的范圍為（-1，1）.

解法3：（不等式法）由（a+1）2+（b+1）2=4＞2（a+1）（b+1），其中（a＜b＜-1），所以0＜（a+1）（b+1）＜2，而ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，所以ab+a+b的范圍為（-1，1）.

考慮到：由圖像可知，當a向-3靠近時，b正好向-1靠近；同樣當a向-1-靠近時，b正好也向-1-靠近，因而可得：

解法4：由-3＜a＜-1-＜b＜-1，得-2＜a-b＜0，

從而得ab+a+b的范圍為（-1，1），這樣使運算過程簡捷，思維明了.

點評：思維的嚴密性表現在能運用唯物辨證觀點來觀察、分析事物，能用對立統一的觀點看問題，既要看到事物之間的對立，也要看到事物之間的統一和在一定條件下事物之間的相互轉化，既要看到事物的正面，也要看到反面.唯物辯證法作為馬克思主義哲學的宇宙觀、方法論，是使人類思維具有全面性、深刻性和洞察力的根本保證，因此，在整個思維過程中只有運用唯物辨證觀點作指導，才有可能使人類的基本思維形式最有效地滿足思維目的的要求.

數學教學的本質是學生在教師的引導下，能動地建構數學認知結構，并得到全面的發展.數學教育的主要目標是激發學生潛能，教會學生思考，讓學生變得聰明，學會數學地發現問題、思考問題、解決問題，具有創新品質，具備數學文化素養.