探求解題思路的幾種有效策略

☉江蘇省大豐高級(jí)中學(xué) 姜興榮

解題者探求解題思路的過程，實(shí)質(zhì)上就是解題者依托自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法、解題經(jīng)驗(yàn)和思維能力，通過對(duì)題目條件、結(jié)論及它們之間的關(guān)系進(jìn)行積極主動(dòng)的思維分析，受其中某些信息的啟示和誘發(fā)，萌生解題念頭、探索解題方法的過程.如何進(jìn)行“積極主動(dòng)的思維分析”是探求解題思路的關(guān)鍵所在，對(duì)此，本文結(jié)合一些實(shí)例談?wù)剮追N有效的思維策略，以期拋磚引玉.

一、通法起步、多角度思考

從題目涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)，直接運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)概念、公式、定理進(jìn)行解題，是尋求解題思路的首選策略，但未必是最佳解法.多角度地探求問題的解法，往往能獲得很多優(yōu)美、簡捷的解法，更重要的是鍛煉了思維，發(fā)展了能力.

解析一：“分離變量法”是處理不等式恒成立問題的優(yōu)先之策.

解析二：不等式兩邊平方是化去根號(hào)的常用之法.

解析三：由根號(hào)想到向量的模是一個(gè)新的思考角度.

圖1

二、觀察特征，巧思善構(gòu)

解題者在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題實(shí)踐過程中，由于經(jīng)驗(yàn)的作用、思維的積淀，會(huì)在自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中形成一定思維模塊，如具有特定意義的某些符號(hào)表達(dá)式及相應(yīng)的處理范式、某些基于基礎(chǔ)知識(shí)的引伸性結(jié)論及常見運(yùn)用技巧等.解題時(shí)，解題者要善于捕捉蘊(yùn)含于題意中的某種思維模塊特征，展開聯(lián)想，巧妙構(gòu)造.

解析一：經(jīng)觀察易知：該函數(shù)表達(dá)式呈平方和的特征，聯(lián)想到距離的知識(shí)，可嘗試構(gòu)造圖形求解.

圖2

過點(diǎn)T作圓與雙曲線的公切線l，設(shè)T（x0，y0），

圖3

注：本題也可用導(dǎo)數(shù)法直接求解.

三、漸趨縮小，逼近目標(biāo)

含有多元變量、字母參數(shù)的問題是一類比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)題型，常常要討論其中一個(gè)或幾個(gè)變量或參數(shù)的取值情況，如滿足條件的某個(gè)或某些字母的取值存在性問題，某個(gè)變量的取值范圍問題等.

抓住題意中變量、字母間的相互制約關(guān)系，利用其中一些變量的取值要求，縮小其他變量或字母的取值范圍，使得問題的討論漸漸趨近求解目標(biāo).

解析一：由題意知：字母m，n滿足等量關(guān)系，利用n的正整數(shù)取值要求，來研究m的取值范圍，進(jìn)而，從所推范圍中易知m的取整情況.

所以m的可能取值為2，3，4，5，6.

當(dāng)m=3時(shí)，代入②式，解得n=3.

當(dāng)m≥4時(shí)，n被m整除，設(shè)n=km（k∈N*），代入②化簡得：

同理，k=sm（s∈N*），代入③式得：2sm2+9=3s（3+4m），

所以s可能取值為1，3，9，代回④式檢驗(yàn)易得：m=6，再代入②式得n=36.

注：解析二的策略是：將兩個(gè)量m，n之間的整除性關(guān)系，逐步縮小為較小的整數(shù)9是正整數(shù)s的倍數(shù)關(guān)系而獲解的.

四、重新表征、模式轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)題是用文字、符號(hào)、圖形三種語言成分呈現(xiàn)的，揭示了一定的數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)規(guī)律，是相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的語言表征形式.同一個(gè)數(shù)學(xué)問題可以有不同的語言表征形式，故對(duì)所給數(shù)學(xué)題重新進(jìn)行另一種語言形式的表征，可實(shí)施不同數(shù)學(xué)模式之間的等價(jià)轉(zhuǎn)換，進(jìn)而為問題求解提供了多種通道.

例4 如圖4，在△OAB中，OP∶PA=1∶2，OQ∶QB=3∶2，連接AQ、BP交于點(diǎn)R，過R作RH∥OA交AB于點(diǎn)H，若OA=1，OB=3，∠AOB=60°，求OH的長.

解析一：向量兼有幾何與代數(shù)的雙重特征，本題是用平面幾何語言表述的，可用向量語言對(duì)之進(jìn)行重新表述后，考慮求解方案.

圖4

解析二：解析法也是處理平面幾何問題的重要方法之一，用解析幾何語言重新表述，將問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題求解，應(yīng)該值得一試.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖5.

圖5

注：本題也可用解三角形語言來表征，但需添加輔助線，請(qǐng)讀者一試.

從上述四個(gè)“策略”成功運(yùn)用的歷程中，我們看到：自覺、主動(dòng)地運(yùn)用科學(xué)的思維策略，有助于快速確立解題思維的著力點(diǎn)，有利于找到解題的最近“攻擊”方向，增強(qiáng)解題的目的性、可行性、創(chuàng)造性，避免解題過程中的盲目性、無效性、被動(dòng)性.因此，在解題實(shí)踐中，重視和加強(qiáng)思維策略的總結(jié)、積累與運(yùn)用，是解題者學(xué)會(huì)怎樣解題、提高分析問題和解決問題能力的必由之路.

1.（美）喬治·波利亞著.劉景麟、曹之江、鄒清蓮譯.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：對(duì)解題的理解、研究和講授［M］.北京：科學(xué)出版社，2006.

2.羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐［M］.2008（9）.