小公式，大作用——從一道課本例題說起

2013-07-25 09:28:30江蘇省揚(yáng)州中學(xué)陳黎黎

中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2013年13期

☉江蘇省揚(yáng)州中學(xué) 陳黎黎

一、問題呈現(xiàn)

蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修4第2.2.3節(jié)有這樣一道例題：

圖1

原書證明過程如下：

此結(jié)論告訴我們什么？它在結(jié)構(gòu)上有何特點(diǎn)？在向量的知識體系中占據(jù)什么樣的地位？有著什么樣的作用？筆者對它產(chǎn)生了興趣，今作此文與讀者探討交流.

二、結(jié)論解讀

定比分點(diǎn)的向量式與平面向量基本定理是特殊與一般的關(guān)系.平面向量基本定理中的基向量前的系數(shù)沒有制約，而定比分點(diǎn)向量式的基向量前的系數(shù)和卻等于1.由證明的過程不難發(fā)現(xiàn)這正是由A、C、B三點(diǎn)共線導(dǎo)致的.反之，該結(jié)論的逆命題也是成立的.（逆推結(jié)論的證明過程即得）

重新改寫如下：

三、結(jié)論應(yīng)用

1.系數(shù)和問題

此類問題中的若干向量以平面向量共線定理或平面向量基本定理的背景呈現(xiàn)（可能有三點(diǎn)共線的情境亦或沒有），探尋向量表示的系數(shù)和的特征.

（1）三點(diǎn)共線情形：

圖2

解后反思：問題中的m、n與點(diǎn)P、Q的位置有關(guān)，其值在變，但其倒數(shù)和為何為定值？

找到引發(fā)這一定值的本質(zhì)原因才是真正理解并解決它的關(guān)鍵.P、Q在動(dòng)，但這是在P、Q、G三點(diǎn)共線約束下的運(yùn)動(dòng).動(dòng)中有靜—與定點(diǎn)G共線正是產(chǎn)生定值的本質(zhì)原因！定值為3正是點(diǎn)G位置的體現(xiàn)！既然與三點(diǎn)共線問題有關(guān)，不妨考慮運(yùn)用文中結(jié)論重解此題.

（2）無三點(diǎn)共線情形

這是近年高考向量命題的一個(gè)熱點(diǎn)，通常需要解題者構(gòu)作輔助線，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線后再用此結(jié)論.

原解：設(shè)∠AOC=α，

即（x+y）max=2.答案為2.

圖3

圖4

2.比值問題

此類問題一般會(huì)有一組或多組“X”形出現(xiàn)，這正是出現(xiàn)三點(diǎn)共線情形的一個(gè)表現(xiàn).利用系數(shù)和的特點(diǎn)巧設(shè)向量可以找到突破口，從而迅速求出比值.

例3 如圖5，設(shè)M為正方形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，以A為圓心，AB為半徑的圓與以CD為直徑的圓交于點(diǎn)P.N為BP與CD的交點(diǎn)，Q為AN與BM的交點(diǎn)，求證：

圖5

證明：如圖5，連接DP并延長交BC于K，則

3.數(shù)量積問題

某些數(shù)量積問題若直接由定義運(yùn)算，十分困難.此時(shí)不妨將數(shù)量積表達(dá)式中的向量用一組基底來表示（對于出現(xiàn)三點(diǎn)共線的情形，則可考慮運(yùn)用定比分點(diǎn)公式的向量形式），之后再進(jìn)行運(yùn)算，可能會(huì)收到意想不到的效果.