初探中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)難點確立依據(jù)與突破策略

☉山東省東營市第一中學(xué) 劉愛云

不管課程如何改革，教學(xué)方法如何創(chuàng)新，數(shù)學(xué)教學(xué)都離不開對數(shù)學(xué)知識重點和難點的深入思考與分析，只有學(xué)生掌握了重點、突破了難點，課堂學(xué)習(xí)才是有效的.那么，哪些知識點是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點？難點形成原因是什么？如何突破？這一系列問題就很值得研究，筆者對此做一些初步探討.

一、難點確立的主要依據(jù)

（1）數(shù)學(xué)知識本體的絕對難度；（2）學(xué)生主體的認(rèn)知相對難度；（3）課標(biāo)與考綱的難度要求.

百度百科對“難點”是這樣解釋的：問題難以解決之處；對“教學(xué)難點”的釋義是：教學(xué)難點是指學(xué)生不易理解的知識或不易掌握的基本技能技巧.由此我們可以得出：難點確實是客觀存在的，而且主要指向?qū)W生的學(xué)習(xí)，是對學(xué)生而言的.數(shù)學(xué)因高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性等學(xué)科特點，給學(xué)習(xí)者帶來的困難相對來說可能要多些（正因為“難”，國外一些發(fā)達(dá)國家將數(shù)學(xué)作為選拔和培養(yǎng)精英的“篩子”，如英國的律師大學(xué)要進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，美國的西點軍校把高深的數(shù)學(xué)課程設(shè)置為必修基礎(chǔ)課），但作為中學(xué)數(shù)學(xué)，我們認(rèn)為還是以“知識本體自身所具的絕對難度、學(xué)生主體的實際認(rèn)知相對難度、課標(biāo)與考綱的難度要求”三維指標(biāo)為難點確定依據(jù)，操作時要充分考慮、權(quán)衡三者之間關(guān)系.

案例1“函數(shù)概念”

從數(shù)學(xué)知識自身絕對難度分析.函數(shù)概念歷經(jīng)三百多年，通過歷代數(shù)學(xué)家多次抽象概括，由“變量說”到“對應(yīng)說”，內(nèi)涵豐富，思想精深，函數(shù)概念的高度抽象性、復(fù)雜性、隱蔽性和形式化要求確立了函數(shù)的絕對難度.

從學(xué)生主體認(rèn)知難度分析.一是觀念轉(zhuǎn)變的困難，有從常量的靜態(tài)到變量的動態(tài)的首次華麗轉(zhuǎn)身，也有從“變量說”到“對應(yīng)說”的二次蛻變；二是短時再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造課堂學(xué)習(xí)與真實函數(shù)概念產(chǎn)生、形成和發(fā)展背景存在巨大的時空差距；三是不同學(xué)歷學(xué)生在認(rèn)知心理和能力上存在客觀差異.總的來說，從認(rèn)知心理層面來看，函數(shù)概念學(xué)習(xí)更多的是順應(yīng)過程，要求學(xué)習(xí)者更多的自我反省和調(diào)整，這是造成主體認(rèn)知困難的主因之一.

從課標(biāo)與考綱的難度要求分析.課標(biāo)認(rèn)為函數(shù)概念的學(xué)習(xí)不是幾課時就一蹴而就，而需螺旋上升，貫穿整個數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，作為中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念，高考對函數(shù)的考查保持足夠的深度和難度要求，以2012年湖南省理科試卷為例，選擇題最后一題是函數(shù)題，解答題最后一道壓軸題是函數(shù)題，倒數(shù)第三題是一道函數(shù)模型的應(yīng)用題.這些題得分很低，難度很大.函數(shù)的難，與中國的高考“國情”需要有很大的相關(guān)性.

需要說明的是，“難點”是一個相對概念，通過學(xué)習(xí)，它也會發(fā)生變化.有的難，難在內(nèi)涵思想深邃，如微積分概念、無限的思想等；有的難，難在變換技巧的不易把握，如證明不等式的構(gòu)造與放縮；有的難，難在運算的繁雜冗長，如解析幾何多元參變量的討論.學(xué)習(xí)是一個漸進(jìn)的過程，從無知，到知之較少，到知之較多，甚至大徹大悟.教學(xué)難點的確定，要注意范圍和分寸的把握，就是“不超綱”；要注意學(xué)生的可接受性，避免隨意拔高而“曲高和寡”.

二、難點突破的策略探尋

難點的突破可以從宏觀與微觀、教法與學(xué)法、知識與思維、技術(shù)與心理等不同角度切入，我們認(rèn)為以下幾點可以作為難點突破策略或原則在教學(xué)時予以遵循或參考.

1.分散難點，各個擊破

一節(jié)課中難點的設(shè)置個數(shù)宜少而典型，難點突破視角宜開放且重在反省.

難點之所以為難點，主要表現(xiàn)為學(xué)生學(xué)起來困難，數(shù)學(xué)活動中思維滯塞，聯(lián)通緩慢.所以數(shù)學(xué)課堂給學(xué)生思考、討論、消化的時間和空間相對來說就要更足些，這就意味著在一節(jié)課中難點的設(shè)置不宜多，“貪多不化”，另一方面，難點的突破，關(guān)鍵要打開學(xué)生被束縛的視角和思維，讓他們敢想、會想.教師的工作，重在難點的精心規(guī)劃，設(shè)置富于挑戰(zhàn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考、探索和交流.需要指出的是，有時僅依賴于一節(jié)課，一兩道題就將難點突破可能不太現(xiàn)實.雖然我們努力追求“舉一反三”，可是事實上，教學(xué)中很多時候卻要“舉三反一”，有些比較頑固的疑難問題，更需要師生與之做“長期斗爭”，所以同一難點在階段復(fù)習(xí)中要有目的、有計劃地多次出現(xiàn)、反復(fù)出現(xiàn)（反復(fù)是學(xué)習(xí)之母，但不是簡單的低層次機(jī)械重復(fù)），不斷反省總結(jié)，促進(jìn)認(rèn)知走向深入，從而實現(xiàn)“化難為易”、“熟能生巧”.

案例2“一道絕對值不等式題的多角度證明”

難點分析：“絕對值”和“根號”是學(xué)生普遍“恐懼”的“符號障礙”，但又是高考必須要邁過的“坎”；此題以不等式證明為載體，切入視角開闊，思維發(fā)散靈活.若放手讓學(xué)生充分思考、討論，定能在“符號障礙”突破、“思維通道”打通、“形式化”表述方面幫助他們積累經(jīng)驗，而思維碰撞、批判反省、個性張揚(yáng)的經(jīng)歷有助于提高他們的解題自信.

師：這節(jié)課我們只做一道題，但要比比誰的想法多，誰的想法精彩！

一節(jié)課下來，前后兩塊黑板都寫滿了，主要有以下思路：

學(xué)生1：（平方法）

學(xué)生2：（導(dǎo)數(shù)法）

學(xué)生3：（由斜率思圖）

學(xué)生4：（距離結(jié)構(gòu)）

的幾何意義為：點A（a，1），B（（b，1），O（0，0），OA與OB兩邊之差的絕對值小于第三邊AB.

學(xué)生5：（勾股定理）如圖1：

圖1

這是在高三二輪復(fù)習(xí)時“絕對值不等式”課堂上留下的一些東西，翻閱教案，有筆者課后對學(xué)生解法的補(bǔ)記，譬如后兩種思路是李治鑫、王博同學(xué)課堂上的“生成”.筆者的“課后記”：這堂課“上”的比較好，因為放手，學(xué)生很是動了腦筋，給出了一些預(yù)設(shè)外的好辦法；難點突破，貴在打開心結(jié)，開放視野，“辦法總比困難多”.

2.循序漸進(jìn)、螺旋上升

這是難點突破必須遵循的基本原則，既要在宏觀上有整體協(xié)調(diào)和把握，也要在微觀上做好精心設(shè)計和處理.

張奠宙先生在文［1］中對“講了學(xué)生也不會的就不講”的觀點提出了自己的看法：人的認(rèn)識過程是螺旋上升的，…以后或許也會懂一點.對于教材、課標(biāo)和考綱要求掌握而有困難的東西，那就更不能回避.實際上現(xiàn)行教材的編寫，比較好的突出和貫徹了循序漸進(jìn)、螺旋上升兩條原則.仍以“函數(shù)概念”這一核心概念為例：必修1從初中銜接過渡，學(xué)習(xí)對應(yīng)下的函數(shù)定義、研討函數(shù)性質(zhì)、學(xué)習(xí)冪、指、對幾類具體函數(shù)，必修4又以三角函數(shù)為載體進(jìn)一步學(xué)習(xí)，必修5用函數(shù)觀點研討數(shù)列、不等式，選修2-2講微積分，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù).這一過程就是螺旋上升、逐漸深入.所以不管是宏觀上的整體把握還是微觀上例習(xí)題講解，都應(yīng)以循序漸進(jìn)、螺旋上升為基本原則，越困難的地方越要這樣處理，這才符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)心理.難點的突破要克服急于求成、急功近利的心理.

不過要注意，循序漸進(jìn)、螺旋上升不是對知識降低要求和消磨困難棱角.張奠宙先生給我們上課時曾打過一個生動的比方：那種對知識降低要求的做法，表面上是為了方便學(xué)生聽懂和接受，將學(xué)習(xí)變得容易，實則對學(xué)生的發(fā)展有害無益，就像把本來營養(yǎng)不高的袋裝奶粉還不斷地用水稀釋，營養(yǎng)成分少了，長期喝這樣的奶，不利于身體健康.先生的話語重心長，耐人尋味.

3.點撥示范，適時適度

教師要適時、適度的啟發(fā)、點撥和示范，但更重要的是要幫助學(xué)生樹立相信自己力量的信心和形成鍥而不舍的鉆研精神，高效率地幫助學(xué)生理解相關(guān)內(nèi)容，學(xué)會分析，化解困難，少走彎路，但教師不能包辦代替.“悟”字構(gòu)造本身耐人尋味：豎心旁一個吾，我給學(xué)生解釋為“我用我心”.學(xué)習(xí)就得用心，“師傅領(lǐng)進(jìn)門，修行靠個人”、“世上無難事，只怕有心人”就是這個道理.“吃一塹長一智”、“急中生智”對難點突破也有啟發(fā)意義，那就是要能承受住在嘗試中的失敗挫折，學(xué)會從失敗中獲取智慧.學(xué)習(xí)者要將自己置身于急難困境之中，激起解決征服困難的欲望從而產(chǎn)生智慧火花.新課標(biāo)在課程目標(biāo)中提出“提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度.”沒有經(jīng)歷解決一些比較困難的數(shù)學(xué)問題的心路歷程，談數(shù)學(xué)的興趣、信心和精神，我們認(rèn)為是不真實、不可靠的.在文［2］中數(shù)學(xué)家蘇步青談及年輕時在東京求學(xué)的一個故事，有一次有幾個題遇上困難他去問導(dǎo)師洼田教授，老師沒有告訴他解決具體題目，而是送給他厚厚三本相關(guān)參考書，他花了數(shù)月時間才把書啃完，這幾本書和這段經(jīng)歷奠定了他“中國微分幾何奠基人”崇高地位，有感于此，他提出“要使學(xué)習(xí)者相信依靠自己的力量才是最可靠的”的觀點.所以，難點的突破，其意義還不止在一技一法的獲得，更在于把它作為樹立學(xué)生相信自己力量的信心和形成鍥而不舍的鉆研精神的良好契機(jī).“攻城為下，攻心為上”，數(shù)學(xué)難點的突破，要在學(xué)生的心理素質(zhì)和意志品質(zhì)上下功夫！為什么應(yīng)用題得分低？因為好多學(xué)生害怕到連題目都不敢讀！解析幾何大題運算不過關(guān)為什么成為老大難？因為平日能硬起頭皮，一算到底的人少之又少！借用毛主席的話來說“戰(zhàn)略上藐視，戰(zhàn)術(shù)上重視”，心理素質(zhì)和意志品質(zhì)很重要，其意義甚至超過了數(shù)學(xué)本身，從更高層面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)育人的價值功能（前面提及的英國律師的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，美國的西點軍校把高深的數(shù)學(xué)課程設(shè)置為必修基礎(chǔ)課的做法，看重的是數(shù)學(xué)對思維嚴(yán)密嚴(yán)謹(jǐn)養(yǎng)成、理性精神確立和頑強(qiáng)堅韌意志品質(zhì)塑造的巨大作用）.

4.改善教學(xué)方法和手段，倡導(dǎo)學(xué)習(xí)方式的多樣性

教師對教學(xué)難點有自己的研究體會很重要，但“只懂?dāng)?shù)學(xué)而不懂教學(xué)卻可能使課堂一團(tuán)糟（M.克萊因語）”，波利亞也表述過類似觀點：只有得法的教學(xué)才能發(fā)揮數(shù)學(xué)啟迪心靈的作用.難點突破不太可能依賴單一的教法和手段，應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容，將不同的教學(xué)方式、方法和手段加以綜合應(yīng)用，達(dá)到最佳的優(yōu)化組合.譬如強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)活動和情境下的“做中學(xué)”，基于學(xué)生在解數(shù)學(xué)問題時依次發(fā)生四種困難“理解性困難、構(gòu)造性困難、運算性困難和判斷性困難”研究的國外流行數(shù)學(xué)教法“學(xué)習(xí)困難分析法”，基于嘗試練習(xí)、自學(xué)引導(dǎo)的“嘗試教學(xué)法”等教學(xué)方法在教學(xué)難點的突破方面都有較好的借鑒之處；利用實物、模具和多媒體信息技術(shù)將抽象問題具體化、直觀化，通過大量實例觀察、比較在獲得豐富感性認(rèn)識基礎(chǔ)上的抽象概括，運用通俗、生動、形象的語言表述數(shù)學(xué)概念和問題的技巧等，都可以作為難點突破的重要手段.同樣，加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)很重要，弗賴登塔爾就說：數(shù)學(xué)知識不是教出來的，而是研究出來的.他的觀點可能太前衛(wèi)了，但研究性學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)的研究態(tài)度確實對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)太重要了，新課程倡導(dǎo)自主、合作、探究，要求改善教與學(xué)的方式，使學(xué)生主動地學(xué)習(xí)，對教學(xué)難點突破尤為重要.數(shù)學(xué)難點的突破，有時僅靠單個學(xué)生自身力量太難，為了提高學(xué)習(xí)的時效性，需要所有學(xué)生積極主動地深層次參與，需要學(xué)生在充分獨立思考基礎(chǔ)上展開廣泛而有意義的合作、交流，學(xué)習(xí)小組、學(xué)習(xí)共同體的構(gòu)建就很重要.

總之，只要存在教學(xué)，教學(xué)難點研究就是一個永不結(jié)題的課題，對它的思考，就是亙古而又彌新的.

1.張奠宙，趙小平.對所謂“三不講”的質(zhì)疑［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（8）.

2.蘇步青.數(shù)與詩的交融 ［M］.百花文藝出版社，2000，1.