三次函數在“導數”教學中的價值分析

☉江蘇省鎮江市國際學校 宋仁高

任何一種教學，最低目標是通過一系列的教學進程，使學習者獲得某種知識與技能的發展；當然在獲得知識與技能的基礎上，獲得思維啟迪、思想躍升與綜合素質提高進而改變哲學觀，這是最高層級目標.新課標提出高中數學教學的三維教學目標，為實現這些目標，教師在教學設計過程中，往往從浩瀚數學之海中掬一杯清澈涓流，精心運用于教學過程；多年實踐證明，課堂教學素材的選取是否合適、運用是否得當往往影響教學效果.以“導數”教學為例，筆者發現選取“三次函數”素材作為教學“導數的運用”十分合適，精心設計問題，積極引導學生對“三次函數”的若干性質進行探究，則可很好地落實“導數”教學的三維目標，下面從兩個方面淺析這一過程.

一、借心理學理論“最近能力發展區”原理，凸顯三次函數的性質探究在導數教學中的價值

教育心理學認為，處于學生最近能力發展區的教學內容，是最合適的教學內容.從現有數學教育體制看，“導數”學習，對學生數學處于“承上啟下”的地位：初中數學開始接觸函數，意味著由小學開始學習的“常量”為主的數學開始進入中學階段的“變量”為主的數學，高一接觸了關于初等函數的幾個特征，如定義域、值域、奇偶性、對稱性、增減性、周期性等.這正是進入高二之后學習“導數”的基礎；高二學習導數，是對前者的深化，是站在更高的視角，是運用更為深入的、更為本質的概念推進函數的探究與學習，“導數”體現了現代數學的思想，即通過對數學對象的某種特征的探究進而了解該對象的性質.高二數學導數教學要體現這一思想，為學生進入大學學習現代數學打下基礎，而不僅僅是讓學生知道幾個定義、記住幾個公式、機械地套用公式進行計算等.

回溯高二數學教學背景可看出，基本初等函數特別是二次函數的學習是高二學生學習導數的能力基礎，二次函數與一元二次方程、一元二次不等式三位一體、緊密相關，從函數圖像、函數性質到方程求解、根的分布、不等式的解集區間分布等，知識與能力要求環環相扣，集中體現了數學的理解能力、推理能力、想象能力、幾何作圖能力、運算能力等.二次函數是學生在學習導數前了解最多、運用最嫻熟的數學對象，二次函數學習中習得的函數研究的一般步驟與思路，為學習、運用導數研究函數性質及相關問題奠定了方法與知識基礎.三次函數無論從函數的代數特征、圖像的幾何特征還是函數性質的研究、推理手段等來看，與二次函數最為相近，但是，量變引起質變的哲學辯證思維啟發我們，從二次函數到三次函數，并非是簡單的函數因變量的指數變化，三次函數畢竟具有二次函數所沒有的諸多特點，與之俱來的若干問題也不是僅能照搬二次函數的研究方法解決的.從三個維度的教學目標看，三次函數正是處于高二階段學生的最近數學能力發展區的數學學習素材.下面通過一道典型的試題的剖析加以說明如何以三次函數為素材進行導數教學.

例1設有函數f（x）=x3-3ax2+3x+1.（1）設a=2，求f（x）的單調區間；（2）設f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍.

點評：在解決第一問時，通過求導，將三次函數的增減性討論轉化為一元二次方程的求根與一元二次不等式的求解問題，求導的解題功能體現為將三次函數直接轉化為二次問題，而轉化后問題中不含參數討論，比較簡單，體現數學解決問題的特點，即不斷將未知問題轉化為熟悉問題解決；解決第二問，導數起到的作用仍然是將三次問題轉化為二次函數，但轉化后得到的二次問題含有參數，如果仍拘泥于求出含有參數的方程解，接著利用不等式結合解所在區間求解，將相當繁瑣，反過來將參數視為原來自變量x的函數，將求參量變化區間問題轉化為討論一個新函數的值域問題，此時討論值域問題無需求導，應靈活地根據解的代數表達式及自變量變化區間，將問題直接轉化為基本不等式處理的問題.本題中，“求導”作為問題轉化的技術手段，所需思路是在原有數學基礎上“跳一跳，夠得到”.

二、視三次函數為載體，配合導數處理更加復雜的數學問題，體現“工具”特點的價值所在

在數學學習中，不斷提出新問題與解決新問題的嘗試往往能有效檢驗已經學過的數學知識與方法，檢驗已經了解的數學思想理解的深度，進而促進知識與方法的掌握，這在數學家波利亞的《怎樣解題》一書中有精彩的描述.經過基礎性內容與方法的學習和訓練之后，教學過程就應該向較高要求過渡，能力發展向多種指標提高的方向努力.運用導數處理三次函數，學生如果掌握的較理想，完全可以將三次函數作為新過渡工具，用導數處理涉及四次函數的問題以及超越函數的問題.這時，三次函數問題討論的經歷與解決問題的解題經驗已經成為新的基礎.試看下列這道典型四次函數問題：

g（x）=x3+3x2-9x的兩個極值點為x1=-3和x2=1，一個極大值為g（-3）=27，一個極小值為g（1）=-5，粗略畫出三次曲線g（x）=x3+3x2-9x的圖像如圖，當且僅當-27＜c＜5，g（x）=x3+3x2-9x與h（x）=-c才會恰好有三個交點，問題得證；

（2）函數f（x）在區間［a，a+2］上單調遞減，意味著導函數：

f′（x）=x3+3x2-9x+c在區間［a，a+2］上恒負，此處“存在c”，不能理解成“任意c”，與第一問類似，三次問題“f′（x）=x3+3x2-9x+c在區間［a，a+2］上恒負”，只有通過再次求導轉化為二次函數中零點的分布問題討論，進而得出參數c范圍.

點評：數學魅力在于不斷在最新的最近發展區中，通過新問題磨練思維、活化思維，學會數學知識、數學方法的遷移應用，達到真正領會相應的數學思想，進而有效提高數學水平.此題第一問培養學生如何根據三次函數圖像解決問題的能力，是在運用二次函數拋物線圖像的基礎上對于數學能力的又一次提高；第二問引導學生，將四次函數問題通過求導，在形式上轉化為仍然是“已知自變量x的變化區間，反過來求解參數的變化范圍”問題，只不過將例1的第二問問題背景由二次問題換為三次問題，解決的思路是再次求導，將三次問題中參數討論最終轉化為二次問題中的參數討論.這里，隱藏著將來在高等數學中二階導數的數學思想，為學生將來的數學能力發展打下基礎.問題二比問題一無論在運用知識的廣度與深度，還是思維能力的要求方面，都有明顯提升，數學問題的曲折會鍛煉思維，已經積累的數學學習經驗會為終身發展埋下伏筆.

總之，從以上討論中可見，三次函數對于導數教學具有極高的數學教學價值與數學教育意義，重視并挖掘這一教學素材，是高中數學教師值得重視的問題.