“預設”誠可貴 “生成”價更高

☉湖北省宜昌市田家炳高級中學 蔡傳海 李成德

“數學是自然的”，這是人教版數學新課程教材《主編寄語》中令人印象最深的一句話.通過近幾年的教學實踐，筆者深切感受到這句話不僅是數學教師教學的基本理念和指導思想，更是學生學好數學的基本方法，它是數學新課程教與學的“點睛”之筆.

如果我們在數學教學的預設、生成、轉換和變化等過程中，多關注和研究一些學生思維發展過程中的自然生成狀態，使教學更貼近學生，使師生的思維對接點更流暢自然，這樣不僅能使學生明白思維發展變化的規律，增強學生學好數學的信心和能力，而且會獲得意想不到的效果.

一、“自然生成”的課堂案例

當學生對（a+b+c）3-27abc≥0的證明陷入困境時，筆者適時提醒學生能否用“函數思想”解決問題，這一提議立即得到學生的熱烈響應，因為函數是學生最熟悉的數學知識，而且剛剛學習的導數更讓他們在函數問題的處理上如虎添翼.學生強烈的好奇心和求戰欲望，為本堂課后續的探究教學做好了充分的情緒鋪墊.我們順勢而為，另辟溪徑地完成了如下的解法：

不妨設函數f（x）=（x+b+c）3-27xbc（b＞0，c＞0，x＞0），

所以f（a）＞0，（a+b+c）3＞27abc成立.

得證f（a）=（a+b+c）3-27abc≥0（a，b，c∈R+）成立，當a=b=c時取等號.

綜合（1）（2）得定理3成立.

這次成功的探索體驗，解決了學生在課堂中自然生成的想法和疑惑，讓學生體會到函數在數學應用中的作用，生動地展現了函數思想的應用過程，也讓學生切身感受到學習過程中的“成功感”，增強了學習數學的興趣和信心.這遠比那種照本宣科、生搬硬套式地講授課本預設思路來得生動、自然和高效！

二、“意想不到”的生成效果

這種自然生成的教學狀態讓筆者印象深刻，然而它所產生的后果很“嚴重”，它對學生影響之“深遠”，在后續的高三復習中是筆者意想不到的.

（1）求F（x）=f（x）-g（x）的極值，并證明：若x1，x2∈（0，+∞），有f（x2）-f（x1）≥f′（x1）（x2-x1）.

（2）設λ1，λ2＞0，且λ1+λ2=1，x1＞0，x2＞0，證明：λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）.

若λi＞0，xi＞0，（i=1，2，…，n），由上述結論猜想一個一般性結論（不需證明）.（3）略.

本題的關鍵是第（2）題的證明部分，參考答案為：

令x3=λ1x1+λ2x2，則x3＞0且

由（1）得

由λ1×①+λ2×②，得λ1f（x1）+λ2f（x2）-（λ1+λ2）f（x3）≥0，

即λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）成立.

這種預設的解題思路技巧性強，解題前的思維探索過程復雜，對學生而言是不自然的，難以完成.而學生的思維方式有些讓筆者感到“意外”.

學生解：要證λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2），即證λ1lnx1+λ2lnx2-ln（λ1x1+λ2x2）≤0，令h（x）=λ1lnx+λ2lnx2-ln（λ1x+λ2x2），

當x∈（0，x2）時，h′（x）＞0；

當x∈（x2，+∞）時，h′（x）＜0；

所以hmax（x）=h（x2）=0，即h（x）≤0，

所以結論成立.

案例2 （2013年某市四月調研考試第22題）（1）已知函數f（x）=（1+x）α-αx（x＞-1，0＜α＜1），求f（x）的最大值；

筆者在與學生的交流過程中，發現學生這種自然生成的“函數思想”應用意識，一方面與他們較扎實的函數知識有關，另一方面與筆者在教學過程幾次順勢而為的靈機觸發有很大的關系，其中就有前面談到的讓他們印象深刻的那堂課.“種瓜得瓜，種豆得豆”，筆者不經意種下的“種子”，竟在某個時刻發芽了！

三、“茅塞頓開”的感悟啟迪

1.教師要精心呵護、研究、培育學生自然生成的思想和方法，讓學生那些稚嫩的思維萌芽，有生存的土壤，有壯大的空間.讓數學教學過程自然一點，再自然一點；讓師生的思維狀態貼近一點，再貼近一點.在教學的預設和生成過程中，少一點“守”，多一點“放”；少一點“循舊”，多一點“出新”；少一點“假大空”，多一點“自然性”.

2.敬畏學生思維成長的力量，做一個順勢而為的善導者.教師要與學生一起組成一個順勢而研的研究團隊，讓學生思維的敏銳生長狀態與教師的豐富經驗和開闊眼界有機結合，讓學生學得通暢、不留疑惑，讓學生的思維呈現出生動的勃發狀態.

3.教師也是學習者.“自主合作學習”模式不應只是學生間的自主合作學習，而應是更高質量的師生合作學習.教師應多關注、研究、整理學生自然生發出來的各種思路、想法，更多地尊重、理解學生思維產生的背景和過程，讓“金子”發光，讓“渣子”過濾，最后收獲的不僅是學生，可能更多的還是我們！