雙曲線不等式及其應用

☉廣東省佛山市高明區第一中學 林建雯

我們知道雙曲線有很多的性質及應用，其實雙曲線的方程與不等式之間也有聯系，這種聯系對發現問題、解決問題、研究問題帶來了很大的方便.下面筆者試著探索和研究這方面的內容，以供參考.

因此a2-b2≤x2+y2-2xy=（x-y）2，

即a2-b2≤（x-y）2.

由不等式①我們很容易獲得下面兩個有趣的推論：

又因為a2-b2≥0，λ0≥λ，

所以λ（a2-b2）≤（x-y）2.

上述3個不等式的應用非常廣泛，特別是用來求二元函數最值或值域問題時，顯得更加簡潔和方便.

一、求滿足整式方程未知數的代數式的最值或范圍

例1 已知x，y滿足x2-y2-2x-4y=0，求x-2y的范圍.

由推論1得

解得x-2y≤2或x-2y≥8.

所以x-2y的取值范圍為（-∞，2］∪［8，+∞）.

例2 已知a，b∈R，且2a+b-2=0，求（a-2）2-（b-3）2的最大值.

由推論1得

二、求滿足三元一次方程及三元二次方程的未知數的最值

三、求滿足整式方程未知數的分式的最值或范圍

由推論1得（3k2-3）≤［（k+kx）-y）］2=k2，

四、求滿足不等式的未知數的最值

例7 如果實數x，y滿足不等式（x+1）2-y2≥3，求2x-y的取值范圍.

解：由已知不等式（x+1）2-y2≥3可得

由推論2得（12-3）≤［（2x+2）-y）］2=（2x-y+2）2，即9≤（2x-y+2）2，-5≤2x-y≤1，從而2x-y的最大值為1，最小值為-5.

五、求無理函數的值域

解：由2x-3≥0且x-2≥0得x≥2.

六、求滿足分式方程未知數的代數式的最值