對一道自主招生不等式試題的進一步研究

☉上海市松江二中 衛福山

2008年南京大學自主招生不等式試題如下：

問題：設a，b，c∈R+且a+b+c=1，求證：

對于以上問題，文［1］給出了三種證明方法，主要用到函數的凸凹性及均值不等式，文［2］指出文［1］的三種證明方法都屬于“超綱”方法，并給出了一種不超綱的初等方法.特別地，文［2］給出了以上問題推廣的三個命題：

讀者對于命題2、3可采用類似的角度去理解，因此問題及三個命題實際上也可以認為是函數的凸凹性及Jesen不等式在具體函數上的應用而已.順著這樣的思路下去，我們可以提出很多貌似新穎的問題.

角度1：問題中字母a，b，c輪換能得到什么不等式？

問題1：設a，b，c∈R+且a+b+c=1，

角度2：將問題1從系數上加以推廣

（參見文［3］定理1）

分析：在文［3］中楊學枝老師利用赫爾德（Holder）不等式給出了問題2的證明，實際上問題2只是在系數上對問題1加以推廣，證明方法完全類似.

問題3：設a，b，c∈R+且a+b+c=1，

分析：以上不等式的證明可以在很多文獻中找到，如文［4］～［7］，其證明方法有五種，下面給出其中用凸凹性的較簡單的證明.

去掉對數符號即得證.

角度4：將問題3中字母a，b，c輪換能得到什么不等式？

問題4：設a，b，c∈R+且a+b+c=1，

證明：對于a，b，c∈R+，有如下幾個常用不等式：

在以上不等式及條件a+b+c=1下，有

讀者可以在問題4的基礎上繼續研究，如研究其各種形式的推廣等，這里從略.

角度5：將條件“a+b+c=1”改成“abc=1”，有哪些結論？

問題5：設a，b，c∈R+且abc=1，

問題4稍加變化，便得到2007年烏克蘭數學競賽不等式試題：

設a，b，c∈R+且abc≥1，

關于其證明，讀者可以參閱文獻［8］.

問題6：設a，b，c∈R+且abc=1，

讀者可以將研究繼續進行下去，從中我們或許能產生很多新穎的不等式.

1.時寶軍，李淑蓮，于瑞廣.一道自主招生數學試題的解法探究與評析［J］.數學通訊（下半月），2010（2）：56-57.

2.趙思林，李興貴.一道自主招生不等式試題的初等解法探究［J］.數學通訊（下半月），2010（10）：49.

3.楊學枝.兩個代數不等式猜想的推廣［J］.數學通訊（下半月），2010（10）：38-39.

4.楊先義.一個不等式的推廣［J］.數學通訊，2002（19）：29.

5.梁麗平，安振平.一個代數不等式的兩種初等證法［J］.中學數學研究，2003（3）：41-42.

6.馬占山，薛衛華.一個不等式的簡單初等證明［J］.數學通訊（下半月），2010（5）：33.

7.李歆.也談一個不等式的簡單初等證明［J］.數學通訊（下半月），2010（9）：29.

8.鄒守文.一道2007年烏克蘭競賽題的簡證［J］.中學數學，2007（8）：25.