探究一道競賽題

☉江蘇省常熟市中學 查正開

這是2011年西部奧林匹克數學競賽第1題，參加這次競賽的同學普遍感到此題較難上手.實際上，本題是一個貼近高考、背景公平、對稱優美的競賽題，學生解題困難是沒有把握問題的本質，事實上，這道賽題源自人教版選修4-5教材中的一道不等式題.

習題：已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1.

求證：（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc.

分析：這道題目的證明，是運用二元均值不等式的一個典型范例.

證明：由a，b，c∈R+，a+b+c=1，結合均值不等式得：

以上三式相乘即得（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc.

在賽題中，令1-x-y=z，x+y=1-z，問題即為：

對這一賽題做進一步類比加強，利用換元結合兩角和正切公式（高考重點內容），筆者編擬了一個類似問題，供同學們探究.

上式取等號，

由此可知，競賽題和高考題均源自課本（或高于課本），我們只要透過表面現象，把握問題的本質，分析題目的結構特征，運用所學數學知識和方法，可以使很多看似復雜的問題得以順利解決.