于拐角處尋“另一村”

☉湖北省武漢市第十六中學 盧勝光

在生活中經常經過建筑的走廊的“拐角”處來回搬運一些物品，看似十分簡單的事情，卻隱含著頗有意義的數學背景.下面我們就把它設計成一些數學問題進行一些探討.

問題1：某廠房內有一個水平直角型走廊，如圖1所示，兩過道的寬度分別為3m、2m，有一根長5m的金屬棒（粗細忽略不計）能否水平通過直角走道？

分析與解答：不失一般性，設直角型走道的寬分別為a、b，如圖1，以直線OA、OB分別為x軸、y軸建立直角坐標系，問題轉化為：求過點P（a，b）的直線被兩坐標軸所截線段AB長的最小值.

圖1

所以5m長的金屬棒可以水平通過直角走廊.

問題2：某建筑物內有一水平直角型走廊如圖2所示，兩過道的寬度均為2m，有一個水平截面為矩形的設備的寬為1m，長為5m，問該設備能否水平經過該過道？

圖2

分析與解答：我們還是來討論問題的一般性，設過道的寬度均為λ m，矩形長AB=am，寬BC=bm（這里b＜λ＜a），以直線OB、OA分別為x軸、y軸建立坐標系，問題轉化為：求以M（λ，λ）點為圓心，半徑為b的圓的切線被兩坐標軸的正半軸所截線段AB長的最小值.

因為AB與圓（x-λ）2+（y-λ）2=b2相切，由圓心（λ，λ）到直線AB距離等于半徑，得

因為b＜λ，當λ∈R+時，-λt2+4bt-2λ＜0，

問題3：設病床的長和寬分別為p，q（規定），病房走廊寬度為l，拐角處成直角，如圖3.為了保證病人能躺在病床上進入手術室，寬度l最窄應是多少？說明理由.

圖3

再設t=sinα+cosα.

分析與解答：如圖4，以∠AOB的角平分線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系.

圖4

所以長為10m的竹桿可平行通過該“拐角”走廊.

上述幾個問題，將實際背景融入到了高中數學內容中，反映了數學的應用價值，是開展數學建模的好素材.若能結合教學內容進行適當的整合，在實際應用中滲透，將有利于激發學生學習數學的興趣，促進學生形成和發展數學應用意識.