詮釋高考對數學解題能力的考查

☉廣東省清遠市第一中學 郭智君

解題能力是指能閱讀、理解題目所陳述的材料，并對材料所提供的信息進行分析、加工、篩選和處理，選擇恰當的方法，綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題的能力.它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數學能力的綜合體現，提升學生的解題能力是數學教學最重要的任務.高考考查的首要任務即是對學生解題能力的考查，下面以2013年高考導數試題為例說明.

一、考查對問題信息收集整理的準確性

一個數學問題，必然會向考生提供該題目的有關信息，包括條件是什么，解題的設問方向是什么等.解答題給予我們的信息量大，如何通過審題抓住有效信息，排除干擾信息，去除無效信息，獲得解題的第一感受資料十分重要.

例1 （2013年全國新課標I卷）已知函數f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2.

（Ⅰ）求a、b、c、d的值；

（Ⅱ）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

信息收集：（1）兩曲線同時過點P（0，2），即兩函數在x=0時，函數值相等；題目中涉及曲線在點P（0，2）處的切線相同，即意味著在該點的導數值相等.

信息整理：（2）當x≥-2時，f（x）≤kg（x）恒成立，

即［kg（x）-f（x）］min≥0.

解析：（Ⅰ）由已知得f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4.

而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），所以a=4，b=2，c=2，d=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1），設函數F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2（x≥-2），F′（x）=2kex（x+2）-2x-4=2（x+2）（kex-1），由題設可得F（0）≥0，即k≥1.

令F′（x）=0，得x1=-lnk，x2=-2.

若1≤k＜e2，則-2＜x1≤0，所以當x∈（-2，x1）時，F′（x）＜0；當x∈（x1，+∞）時，F′（x）＞0.即F（x）在（-2，x1）上單調遞減，在（x1，+∞）上單調遞增，故F（x）在x=x1時取最小值F（x1），而F（x1）=2x1+2-x12-4x1-2=-x1（x1+2）≥0，所以當x≥-2時，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

若k=e2，則F′（x）=2e2（x+2）（ex-e-2），所以當x＞-2時，F′（x）＞0，所以F（x）在（-2，+∞）上單調遞增，而F（-2）=0，所以當x≥-2時，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

若k＞e2，則F（-2）=-2ke-2（k-e2）＜0，所以當x≥-2時，f（x）≤kg（x）不可能恒成立.

綜上所述，k的取值范圍為［1，e2］.

點評：解題時應細心閱讀問題，全面收集信息，正確地掌握設問的要求.為此考生應始終保持清醒的頭腦，注意克服由于思想緊張或思維的片面性而導致收集信息不全、收集信息失真的缺點.

二、考查解決新問題的能力

“新問題”即情景新、題型新、設問新、方法新，教學中一定要認真培養學生解決新問題的能力.解決新問題的能力就是“從無到有”的探索能力和創造意識.要培養學生在陌生的情境下，從題意的挖掘開始，一步一步找到解決問題的途徑，學會從不知到知、從不懂到懂、從不會到會、從不明白到明白的“從無到有”的探索方法.

例2（2013年北京卷文）已知f（x）=x2+xsinx+cosx.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值.

（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同的交點，求b的取值范圍.

解析：（Ⅰ）f′（x）=2x+sinx+xcosx-sinx=x（2+cosx）.

f′（a）=a（2+cosa）=0，所以a=0，b=f（a）=f（0）=1.

（Ⅱ）由f′（x）=x（2+cosx），可知f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增.fmin（x）=f（0）=1.

若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同的交點，則b≤1不符合題意.

當b＞1時，f（-2b）=f（2b）≥4b2-2b-1>4b-2b-1＞b，所以?x1∈（-2b，0），x2∈（0，2b），使f（x1）=f（x2）=b，所以b＞1時，曲線y=f（x）與直線y=b有且僅有兩個不同交點，所以b∈（1，+∞）.

點評：本題對于實行新課標以來的北京市試題可謂最大創新，一改以往的命題形式，對于解題能力稍差一些的考生來說，便不知從何下手.利用導數研究函數性態的高考數學試題，導數只不過是創設這類試題情境的一種取向，求導的過程并不難，它的最終落腳點是考查函數的性質、不等式的解法、等價轉化的思想、分類討論的思想、數形結合的思想等數學思想方法，特別是體現導數的應用價值，這是需要在復習中強化的關鍵問題.

三、考查運算的條理性

在數學解題中，有許多問題的運算量比較大，有時也比較繁，但又是不可避免的.在導數問題的處理中，有些問題雖然有好的方法，但在探究中也不容易一下子發現，因此在解題中要提高運算的條理性，如打草稿要一行一行的寫，一題一個位置，復查也方便；式子的變化不要跳步，這些都有助于提高我們的運算準確性.

例3（2013年廣東理）設函數f（x）=（x-1）ex-kx2（其中k∈R）.

（Ⅰ）當k=1時，求函數f（x）的單調區間；

解析：（Ⅰ）當k=1時，

令f′（x）=0，得x1=0，x2=ln 2.

當x變化時，f′（x）、f（x）的變化如下表：

x （-∞，0） 0 （0，ln2） ln2 （ln2，+∞）f′（x）+0-0+f（x）↗極大值↘極小值↗

由表可知，函數f（x）的遞減區間為（0，ln 2），遞增區間為（-∞，0）和（ln 2，+∞）.

令f′（x）=0，得x1=0，x2=ln（2k）.

所以g（k）≤ln 2-1=ln 2-ln e＜0，從而ln（2k）＜k，所以ln（2k）∈［0，k］.

所以當x∈（0，ln（2k））時，f′（x）＜0；當x∈（ln（2k），+∞）時，f′（x）＞0.

所以M=max｛f（0），f（k）｝=max｛-1，（k-1）ek-k3｝.

令h（k）=（k-1）ek-k3+1，則h′（k）=k（ek-3k）.

令φ（k）=ek-3k，則φ′（k）=ek-3≤e-3＜0.

綜上，函數f（x）在［0，k］上的最大值M=（k-1）ek-k3.

點評：含參函數單調性的判斷問題是高考對導數應用考查的重點內容，解題時注意定義域優先原則，求導后即轉化為函數的零點問題.分類討論思想伴隨著導數應用的始終，如根的個數、根的大小等進行分類討論，另外備考中還需要加強極值、最值問題求解的訓練，以及與不等式恒成立問題相結合考查.

四、考查對問題轉化的能力

函數的零點個數，即是圖像與x軸的交點個數，而有些函數非常復雜，要快速畫出函數的圖像相對來說比較困難，這時，我們可以借助導數，探究函數的單調性和極值，從而畫出函數的大致走勢，確定函數的零點個數.

（Ⅰ）求f（x）的單調區間、最大值；

點評：同一個數學問題，由于觀察的角度不同，對問題的分析、理解的層次不同，可以導致轉化目標的不同與方法的不同.借助于這一特點，可以從盡量簡單、顯性、容易、明了、一般、具體著手，以更好地解決問題，培養解決問題的能力，優化思維品質.

五、考查求解交匯問題的能力

導數作為新增加的知識，其作用日趨明顯，已成為解決許多具體問題必不可少的工具.近幾年高考對導數與不等式的整合應用，有加大的趨勢.

例5（2013年高考天津理）已知函數f（x）=x2lnx.

（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；

（Ⅱ）證明：對任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）；

x 0， 1（）1 1■e ，+∞■e （ ）■e f′（x）-0+f（x）↘極小值↗

（Ⅱ）證明：當0＜x≤1時，f（x）≤0.設t＞0，令h（x）=f（x）-t，x∈［1，+∞）.由（Ⅰ）知，h（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，h（1）=-t＜0，h（et）=e2tln et-t=t（e2t-1）＞0，故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立.

當t＞e2時，若s=g（t）≤e，則由f（s）的單調性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，所以s＞e，即u＞1，從而lnu＞0成立.

點評：將所要證的不等式通過構造函數的方法，利用求導的思路使問題得到證明，導數為證明不等式問題開辟了新方法，使過去不等式的證明方法從特殊技巧變為通解通法，符合高考命題的指導思想.