欣賞圓錐曲線的和諧美——兩道高考題的解法及結論推廣

☉南京師范大學第二附屬高級中學 朱 斌

（1）求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程式；（2）略.

（1）求直線AA1與直線A2B的交點M的軌跡方程；

（2）略.

本文只討論問題的第（1）問，通過探究與思考，欣賞其中的數學美.

圖1

粗一看，兩個問題的條件并無多大關聯，問題的問法卻神似.事實上，題目2中的點A、B與題目1中的點P、Q是等效的（關于x軸對稱）.下面以題目2為例展開探究.

一、解法之美

一個數學問題可以從多種角度去思考，并且都能得到最終想要的結果，那么這個問題就是一個好問題.上述題目就是這樣一類問題，下面給出幾個不同思考角度的幾種解法.

解法1：設A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0），則

解法2：設A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0），則

解法3：設A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0）.設A1A：y=k1（x+a），A2B：y=k2（x-a）.

解法4：由已知直線AA1與直線A2B的交點M，因為A1、M、A三點共線，所以

二、結構之美

說明：以上4種解法都可以證明，這里不再重復.

命題2的證明也都可以用上面的4種解法來解決，證明過程是類似的，限于篇幅，這里就不詳述了.

上述題目1（2010年廣東卷理20）就是該命題的特例，簡解如下：

設點M（x，y）是A1P與A2Q的交點，由①×②得

同理軌跡E也不經過點（0，-1）.

三、對稱之美

由題目的左、右頂點分別為A1，A2知，A1和A2是關于y軸對稱，而由點P（x1，y1），Q（x1，-y1）的坐標知，P和Q是關于x軸對稱.若把這兩個對稱關系改變一下，即A1和A2是關于x軸對稱，P和Q是關于y軸對稱，又會出現什么樣的結果呢？

四、結束語

以上是在解題過程中，發現了高考中兩道解析幾何題的數學之美.數學美是數學的魅力之一，數學美是數學能吸引眾多數學愛好者的原因之一.這種數學美，即使是在緊張的應試過程中，也能發現其中的美妙規律，也會獲得美的感受.

因此，像這種蘊含豐富的數學美的題目，應該多出現在各大考試之中，讓更多的人去欣賞數學之美，讓更多的人去喜歡數學，讓考試成為一種賞美的樂事.

1.易南軒．解題中的數學美［J］.西安：中學數學教學參考，1998（7）：32-34．

2.王林全．數學美的豐富蘊含［J］.北京：數學通報，2011（3）：48-51.