數列不等式的歸納法證明

☉江蘇省丹陽高級中學 章建民

數列不等式在高等數學尤其是在分析數學的極限、級數中有著廣泛的應用，因而這類問題在近幾年的高考、自主招生考試、數學競賽中屢見不鮮，成為考試的熱點；但是數列不等式的證明經常要用到放縮法，而放縮法需要學生有敏捷的數學觀察力和熟練的代數變形能力，同時還要注意恰當的放縮度，技巧性強且難以操控，因而成為學生學習和考試的難點.但數列不等式是與正整數有關的命題，故很自然地可考慮用學生容易掌握的數學歸納法來加以處理，本文采用數學歸納法這一利器來證明數列不等式，供參考.

一、直接應用數學歸納法證明

例1（2012年高考全國大綱卷理科22題）已知函數f（x）=x2-2x-3，定義數列{xn}：x1=2，xn+1是過兩點P（4，5），Qn（xn，f（xn））的直線PQn與x軸的交點的橫坐標.

（1）證明：2≤xn＜xn+1＜3；

（2）求數列{xn}的通項公式.

證明：（1）過P（4，5），Qn（xn，-2xn-3）兩點的直線方程是y-5=（xn+2）（x-4），它與x軸的交點是，所以

假設n=k時，命題成立，

即2≤xk＜xk+1＜3；

所以2＜xk+1＜xk+2＜3，

即n=k+1時也成立.

綜上由數學歸納法可知命題對任意n∈N*都成立

（2）略.

下面可用數學歸納法來證明an＜1.

當n=1時，a1＜1，結論成立；

假設當n=k（k≥1）時，ak＜1.

（2）略.

二、利用加強命題法證明原數列不等式

分析：（1）首先假設命題可以強化為：

接著思考的問題自然是：要使加強命題成立，g（n）應滿足什么條件呢？

（2）既然加強命題①成立，則可以利用數學歸納法加以證明：

則可以由不等式的傳遞性知道③式成立，從而由歸納法原理證明了加強命題①.從上述分析可知，g（n）必須同時滿足②④兩式.

證明：先用數學歸納法證明原不等式的一個加強不等式：

假設當n=k（k≥1）時不等式成立，

當n=k+1時，

加強不等式當n=k+1時也成立，所以加強不等式恒成立.

構建加強不等式是證明數列不等式問題的一種有效方法.從不等式的結構形式可分為三類：同側加強、異側加強和雙向加強，這是利用數學歸納法證題的精髓所在.

1.同側加強

分析：若設n=k時不等式成立，

由此在常數的同一側采用上述加強命題法得出一個加強不等式：

當n=k+1時，

2.異側加強

分析：本題直接用數學歸納法無法證得an＞1，對它的另外一側實施加強得加強不等式：

當n=k+1時，一方面，有

評注：從表面上看，加強命題使原問題變復雜了，而實際上，通過加強命題可以得到一個較強的歸納假設，從而為歸納過渡的順利完成奠定堅實的基礎，反而有利于原問題的解決.另外，這種異側加強有廣泛的適用性.

3.雙向加強

證明：先用數學歸納法證明：對一切正整數，有

當n=k+1時，一方面，由均值不等式有

故不等式（＊）成立.

由上可知數學歸納法證明數列不等式可規避傳統的不等式放縮來證明數列不等式中靈活多變的方法和高難技巧，解題有明確的指向和固有的定式，思維流暢自然，使很多復雜的數列不等式的證明題迎刃而解，具有較廣泛的適用性.這樣處理不等式問題既適應新課改的需求（新課程標準已將不等式證明內容納為理科選修內容），又符合“淡化特殊技巧，注重通性通法”的新高考理念，且能有效提高學生的思維能力和解題能力，促進數學的高效學習，值得在教學和解題訓練中加以推廣使用.