一個代數不等式與幾個有趣的三角不等式

☉云南省漾濞縣第一中學 秦慶雄 范花妹

本文將首先證明一個簡單的代數不等式，然后由它可以推出一系列三角形中的優美不等式，其中包括著名的匹多（Pedoe）不等式的加強、費恩斯列爾（Finsler）-哈德維格爾（Hadwiger）不等式的加強等，以及其他一些有趣的不等式.

一、一個代數不等式及其證明

定理 設實數x′，y′，z′及x，y，z同時滿足x′+y′+z′＞0，x+y+z>0，x′y′+y′z′+z′x′>0，xy+yz+zx>0，那么

當且僅當x′：x=y′：y=z′：z時（*）式中的等號成立.

證明：要證（*）式成立，只需證（x′+y′+z′）2（x+y+z）2≥（x′+y′+z′）（x+y+z）（x′x+y′y+z′z）+（x′+y′+z′）2（xy+yz+zx）+（x+y+z）2（x′y′+y′z′+z′x′）成立.

由均值不等式和柯西不等式，可得：

即（x′+y′+z′）2（x+y+z）2≥（x+y+z）（x′+y′+z′）（x′x+y′y+z′z）+（x′+y′+z′）2（xy+yz+zx）+（x+y+z）2（x′y′+y′z′+z′x′）成立，由均值不等式和柯西不等式取等號的條件知，當且僅當x′：x=y′：y=z′：z時（*）式等號成立，從而定理獲證.

二、三角形中幾個有趣的不等式

本文中，用a，b，c，S與a′，b′，c′，S′分別表示△ABC和△A′B′C′的邊長及面積.

命題1 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當且僅當△ABC∽△A′B′C′時，①式取等號.

據三角形面積的秦九韶公式，得：

同理，可得x′y′+y′z′+z′x′=16S2.

將以上各式代入（*）式，便得到①式.

說明：不等式①，由中國科學技術大學的彭家貴教授和常庚哲教授于1983年在文［1］中提出并證明，這里給出了另一種證明.

對①式的右邊用均值不等式，便可得

推論1 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式

a2（b′2+c′2-a′2）+b2（c′2+a′2-b′2）+c2（a′2+b′2-c′2）≥16SS′，當且僅當△ABC∽△A′B′C′時等號成立.

上式即為著名的匹多（Pedoe）不等式，可見①式是比匹多（Pedoe）不等式更精細的不等式.

由①式出發，我們可以推導出另外一些涉及兩個三角形的不等式.

推論2 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當且僅當△ABC與△A′B′C′均為正三角形時，②式取等號.

當且僅當△ABC與△A′B′C′均為正三角形時，③式取等號.

簡證：我們對△ABC與△B′C′A′、△ABC與△C′A′B′兩次使用①式，可得

將④與⑤兩式兩邊分別相加后同時除以2，便得

當且僅當△ABC與△A′B′C′均為正三角形時，②式取等號.

將①、④與⑤三式兩邊分別相加，便得：

當且僅當△ABC與△A′B′C′均為正三角形時，③式取等號.

命題2 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式

當且僅當△ABC∽△A′B′C′時，⑥式取等號.

將以上各式代人（*）式，便得到⑥式.

說明：不等式⑥，由宋慶老師（現任教于江西南昌大學附屬中學）于1989年在文［2］中提出并證明，這里給出了另一種證明.

對⑥式的右邊用一下均值不等式，便可得

推論3 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：當且僅當△ABC與△A′B′C′為正三角形時等號成立.

上式由重慶市第二十三中學高靈老師于1981年提出，并發表于美國《Mathematics Magazine》第55卷（1982）第5期299頁上的問題1156，可見⑥式是比高靈不等式更精細一些的不等式.

由⑥式出發，我們可以推導出另外一些涉及兩個三角形的不等式.

推論4 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當且僅當△ABC與△A′B′C′均為正三角形時，⑦式取等號.

當且僅當△ABC與△A′B′C′均為正三角形時，⑧式取等號.

簡證： 我們對△ABC與△B′C′A′、△ABC與△C′A′B′兩次使用⑥式，可得：

將⑨與⑩兩式兩邊分別相加后同時除以2，便得：

命題3 對任意△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當且僅當△ABC∽△A′B′C′時式取等號.

將以上各式代人（*）式，便得到式.

推論5 對任意△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當且僅當△ABC∽△A′B′C′時，上式取等號.

說明：上式即為陜西省咸陽師范學院安振平老師于2012年在文［3］中提出的定理1，可見式是比上式更精細一些的不等式.

命題4 對任意△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當且僅當△ABC∽△A′B′C′時式取等號.

簡證:在（*）式中，令x=cotA′，y=cotB′，z=cotC′，x′=cotA，y′=cotB，z′=cotC.

在△ABC和△A′B′C′中，易得：

將以上各式代人（*）式，便得到式.

推論6 對任意△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當且僅當△ABC∽△A′B′C′時，上式取等號.

說明：上式即為陜西省咸陽師范學院安振平老師于2012年在文［3］中提出的定理2，可見式是比上式更精細一些的不等式.

命題5 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

則x′+y′+z′=a2+b2+c2，x+y+z=2（a′b′+b′c′+c′a′）-（a′2+b′2+c′2）.

據三角形面積的秦九韶公式，得：

據三角形面積的海倫公式，得：

即xy+yz+zx=16S′2.

將以上各式代人（*）式，便得到式.

對上式經過恒等變形，可以得到：

推論7 在△A′B′C′中，有不等式：

當且僅當△A′B′C′為正三角形時等號成立.

推論8 在△A′B′C′中，有不等式：

a′2+b′2+c′2≥2，當且僅當△A′B′C′為正三角形時等號成立.

上式即為著名的費恩斯列爾（Finsler）-哈德維格爾（Hadwiger）不等式，可見式是比費恩斯列爾（Finsler）-

哈德維格爾（Hadwiger）不等式更精細一些的不等式.

命題6 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當且僅當△ABC∽△A′B′C′時式取等號.

z=（a′+c′-b′）（b′+c′-a′），

則x′+y′+z′=2（ab+bc+ca）-（a2+b2+c2），x+y+z=2（a′b′+b′c′+c′a′）-（a′2+b′2+c′2）.

據三角形面積的海倫公式，得：

將以上各式代人（*）式，便得到式.

推論9 在△ABC和△A′B′C′中，有不等式：

當且僅當△ABC∽△A′B′C′時式取等號.

上式由陜西省咸陽師范學院安振平老師在《數學通訊》1987年第6期上提出，可見式是比安振平不等式更精細一些的不等式.

據三角形面積的秦九韶公式，得：

將以上各式代人（*）式，便得到式.

推論10 設實數x，y，z同時滿足x+y+z＞0，xy+yz+zx＞0，在△ABC中，有不等式：

問題：在△ABC中，有不等式：

1.彭家貴，常庚哲.再談匹多不等式.初等數學論叢（第6輯）［M］.上海教育出版社，1983（7）：17-25.

2.宋慶.一個三角不等式的加強［J］.湖南數學通訊，1989（4）：26-37.

3.安振平.涉及兩個三角形角元的一個不等式［J］.中學數學教學參考，2012（9）：28-29.

4.劉保乾.一組僅含三角形邊長的不等式.第三屆全國初等數學研究學術交流論文集 （福州）［M］.1996（8）：559-571.

5.張小明.一個猜想不等式的證明：不等式研究（第一輯）［M］.拉薩：西藏人民出版社，2000（6）：271-274.