植根高考 解法多樣 啟示深刻——對2013年高考湖北卷理科第13題的思考

☉湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū) 李紅春

2013年高考結(jié)束，新題不勝枚舉，佳題精彩紛呈，亮點多多，其中湖北卷理科第13題便是一例，筆者對該題做了一些深入的思考，現(xiàn)擬成文，和大家一起交流.

亮點1：植根考題 自然生成

任何數(shù)學(xué)問題的出現(xiàn)都有一定的情境，數(shù)學(xué)問題不會無端的“迸發(fā)”出來，“問渠那得清如許，為有源頭活水來”，本題其實根植于2012年湖北高考理科第6題：

兩道試題的表述言簡意賅，結(jié)構(gòu)簡潔優(yōu)美，均考查約束條件下求式子的值，命題的立意相同，解決問題的途徑一致，突破難點的關(guān)鍵相同（即抓住式子取等號成立的條件）.

亮點2：解法多樣 方法靈活

魏本義，黃安成老師認為，高考命題應(yīng)該遵循“活”與“寬”的原則，即解題運用的不是死知識，而是將熟悉的、基本的東西“拿”來解決陌生的問題；試題能小中見大，知識覆蓋面廣，解題入口寬，解法思路廣.本題解法多樣，思路較寬，便很好的體現(xiàn)了這一特點.下面提供6種解法：

解法1：（柯西不等式法）由柯西不等式得：

即 14×（x2+y2+z2）≥14，即x2+y2+z2≥1，

即x2+y2+z2≥1，

當(dāng)且僅當(dāng) m∥n 時取等號，（x，y，z）=λ（1，2，3），

解法3：（引入?yún)?shù)，借助均值不等式）

由這個關(guān)于z的一元二次方程有解，

又x2+y2+z2=1，故（x+2y+3z）2=14（x2+y2+z2），

展開得13x2+10y2+5z2-4xy-12yz-6xz=0，

解法 6：（三角換元）由x2+y2+z2=1，設(shè)x=cosαcosβ，y=cosαsinβ，z=sinα，

當(dāng) sin（α+φ）=1，sin（β+θ）=1 時可取等號.

亮點3：導(dǎo)向鮮明啟示深刻

1.公式教學(xué)要摒棄“生搬硬套”的不良做法

數(shù)學(xué)公式揭示了數(shù)學(xué)知識的基本規(guī)律，具有一定形式符號化的抽象性和概括性的特征，是學(xué)生數(shù)學(xué)認知水平發(fā)展的重要載體，學(xué)好數(shù)學(xué)必須對數(shù)學(xué)公式有十分透徹的理解，牢固掌握并能靈活運用公式是提高數(shù)學(xué)能力的重要前提.

考后筆者深入了解此題學(xué)生的完成情況，不少學(xué)生告訴筆者：此題猜到用柯西不等式，但忘記了柯西不等式取等號的條件，想推導(dǎo)一下卻忘記了證明方法.發(fā)人深思，目前，公式教學(xué)中“生搬硬套”的情形還普遍存在，這種情形的教學(xué)導(dǎo)致了很多學(xué)生腦海里只留下了公式的“外殼”，至于公式的來龍去脈，使用的條件與范圍卻模糊不清.筆者認為從建構(gòu)主義的觀點出發(fā)，數(shù)學(xué)公式的教學(xué)一定要充分展示公式的形成過程，交給學(xué)生發(fā)現(xiàn)的方法，揭示推導(dǎo)公式過程中隱含的數(shù)學(xué)思想，在推導(dǎo)的過程中理解公式使用的條件和要注意的問題，形成對公式的深度理解.

2.解題教學(xué)要更加注重對學(xué)生思維能力的訓(xùn)練

很多學(xué)生考后反映，湖北今年的考題有點象“奧數(shù)”，事實上近年從數(shù)學(xué)競賽試題中選擇素材命制高考試題的現(xiàn)象屢見不鮮，這對學(xué)生思維能力提出了更高的挑戰(zhàn).以上筆者提供了6種方法，除了前兩種解法外，其他的方法對學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)都有較高的要求.總之，數(shù)學(xué)是思維的體操，高考試題常在“知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點、思想方法的交織線和能力層次的交叉區(qū)”內(nèi)命題，因此在平常的教學(xué)中，要善于挖掘與滲透，引導(dǎo)學(xué)生整合知識結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生從不同角度、不同層次思考問題，使他們的思維在靈活性、廣闊性、深刻性、創(chuàng)新性等方面得到充分鍛煉.以上6種解法切入點各異，運用的知識涵蓋了高中數(shù)學(xué)中的不等式、三角、向量等諸多主干知識，涉及“三角換元”、“常數(shù)代換”、“分組配方”、“恰當(dāng)引參”等諸多數(shù)學(xué)解題策略.

3.解題訓(xùn)練要狠抓學(xué)生的審題意識培養(yǎng)

很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題已知條件中只有兩個方程，卻有三個未知數(shù)，不能通過整體代入求出式子值，便干脆放棄.事實上，當(dāng)方程的個數(shù)少于未知數(shù)學(xué)的個數(shù)又無法通過整體法求出結(jié)果的時候，題目的條件通常會有隱含著某種“巧合”，以上的6種解法都是在“巧”上做足了文章，而要達到這一境界，需要學(xué)生有良好的審題習(xí)慣，能夠讀懂題目背后的隱含條件.目前很多教師還在代替學(xué)生讀題、審題，殊不知，很多學(xué)生學(xué)習(xí)的困難不是難在問題的轉(zhuǎn)化，而是難在對題意的準(zhǔn)確理解，對隱含條件的挖掘.

4.重視對往年高考試題的研究

本文中提到的這兩道湖北省高考試題如此神似，再次提醒我們：高三復(fù)習(xí)必須重視對往年高考試題的研究！首先，往屆高考試題一直是新高考試題的重要來源，我們的高考命題專家一直重視傳承和相互借鑒，他們堅持“命題是一種自然的發(fā)展，不會有突變，不能隔斷歷史”的觀點.其次，高考題凝結(jié)了命題專家巨大的智慧和心血，它們有的立意高遠，有的背景深刻，有的內(nèi)涵豐富，有的創(chuàng)意新穎，在研究它們的過程中，我們可以掌握豐富的數(shù)學(xué)方法，學(xué)習(xí)樸素的數(shù)學(xué)原理，完成火熱的數(shù)學(xué)思考，激發(fā)蘊藏的生命活力，使我們能領(lǐng)悟解題方法，領(lǐng)悟解題思想，領(lǐng)悟問題的深層次聯(lián)系，使我們的解題能力和思維品質(zhì)向更深和更高層次發(fā)展和升華！

1.俞永鋒.公式教學(xué)，少點“套”，多點“活”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2011（10）.

2.李紅春.對2012年湖北高考解析試題的深入思考［J］.數(shù)學(xué)通訊（上半月），2012（11）.