立足基礎人為本 常規(guī)題中顯真功——有感于2013年江蘇數(shù)學卷

☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

數(shù)學一考完，就有學生興奮地告訴我：“今年的數(shù)學很簡單，填空題全部會做，就連最后一題，也感到很親切！這次高考是所有考試中考得最好的一次！”帶著疑問，我把試題做了一遍，確實沒有什么磕磕碰碰的地方.對經過無數(shù)次考試的考生們來說，的確可以做得很順利，當然，個別題除外，比如填空題的第13、14題，大題的第17、18、19、20題，想拿到滿分，還是需要一定的數(shù)學功底的.

筆者認為，這是一份立足基礎，以人為本的好試卷.數(shù)學試題不偏不怪，讓中上等的學生得高分成為可能，中間的學生得100～120分成為可能，讓成績較弱的學生爭取及格或在及格邊緣成為可能.全卷堅持從學科的整體意義上選材立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，在充分考查數(shù)學基本知識、基本技能和基本思想方法的前提下，突出考查學生的數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng).試題的設計堅持能力立意，堅持以知識為載體，多層次，多角度地考查各種能力，凸顯對數(shù)學本質的考查，能較好的實現(xiàn)高校公正科學的選拔人才.筆者認為，試題主要有以下幾個亮點：

一、立足基礎，凸顯主干，滲透數(shù)學思想

試卷充分關注學生必須掌握的核心觀念、思想方法、基本概念和基本技能，強化主干知識，基礎與能力并重，做到了重點內容重點考查.全卷對三角函數(shù)（如1題，15題，18題），解析幾何（如3題，9題，12題，17題），立體幾何（如8題，16題），函數(shù)（如11題，13題，18題），導數(shù)（如20題），數(shù)列（如14題，19題）等主要內容的考查占有相當?shù)谋壤?大多數(shù)題重基礎，只要概念清晰，解答規(guī)范，基礎知識牢固就能得到該得的分數(shù)；多數(shù)解答題雖有一定的綜合性，但也是由若干個基礎題整合而成.

另外，在考查知識點的同時也滲透了大綱要求的重要數(shù)學思想.例如，數(shù)形結合思想滲透在線性規(guī)劃（第9題）、函數(shù)（第13題、第20題）等題目中；函數(shù)與方程的思想則體現(xiàn)在第13題、第18題等題目中；試卷對分類討論的思想（第13題、第20題等）做了深入考查.轉化與化歸思想貫穿整份試卷，例如，用來壓軸的第20題，用常規(guī)的題目背景——導數(shù)，而且題目的表述簡潔明了，考生一看就是常規(guī)題，因為相似問題在平時模擬考試中做過很多；但接下來的第Ⅱ問如何實施等價轉化、分類討論，沒有較強的運算能力和深厚的數(shù)學功底是難以做出最終結果的.

（1）若a≤2，則當t=2時，ymin=（a-2）2+a2-2=8，解得a=-1（a=3舍去）；

本題以函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)的最值及簡單建模，借助換元將問題轉化為關于t的二次函數(shù)，再根據(jù)定區(qū)間和動對稱軸進行分類討論.對考生的抽象度、靈活性、深刻性等思維品質提出很高要求.

解析2：注意到本題背景實際是源自圓錐曲線，學生學過變換后，知道反比例函數(shù)圖像也稱為雙曲線，而且是等軸雙曲線，有焦點、準線、離心率、漸近線等，只是其對稱軸是將以前學習過的雙曲線的對稱軸逆時針旋轉45°得到的，中心仍然是原點，所以原題就可以轉化成：

看似簡單的一次函數(shù)和反比例函數(shù)，卻是圓錐曲線中的一類問題，考查學生們在高中階段數(shù)學的基本功是否過硬，在數(shù)學學習上能否做到“做一題通一類”，“看出問題本質，追本溯源”.

二、以人為本，體現(xiàn)人文關懷

以人為本，就是要不斷滿足人的全面需求、促進人的全面發(fā)展；以人為本，不僅要以好生、中等生為本，也要以差生為本，要照顧到各個方面，讓好生有發(fā)揮的余地，讓差生有成功的體驗，讓中等生努力后也能得到理想的分數(shù).例如，試卷的13，14題，17，19，20題就是具有挑戰(zhàn)性的問題，對中等生而言，也有發(fā)揮的余地，如，17（2）以圓為載體，可以轉化為存在性問題，即為方程有解問題，或者轉化為兩圓有公共點問題，即兩圓相交或相切.不同的思考有不同途徑，可以反映學生的差異，利于中等生的發(fā)揮.下面舉幾例說明.

此題來源于考生比較熟悉的數(shù)列知識，考查了學生的估算和轉化能力，綜合性較強.若是死算，或是一一試根，很難解出或是過程非常煩瑣.

例3 （2013年江蘇卷17題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4.

圖1

設圓C的半徑為1，圓心在l上.

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

解析：（1）設點C（a，2a-4），又點C在直線y=x-1上，所以2a-4=a-1，即a=3，所以圓C：（x-3）2+（y-2）2=1.

又點M在圓C上，所以（x0-a）2+（y0-2a+4）2=1， ②

這樣，問題就轉化為存在點M（x0，y0），使得①②成立.

解法2：（幾何方法）從①②的式子特點可以看出，均表示圓，所以要存在點使得①②成立，只要兩圓有公共點，即相交或相切即可.

本題主要考查直線與圓、圓與圓之間位置關系等問題，如果沒有較好的數(shù)學基礎，良好的數(shù)學素養(yǎng)，看不出①②反應的幾何意義，就會陷入煩瑣的計算，很難拿到滿分.本題中的第（2）小題主要根據(jù)題意將問題“要使得圓C上存在點M，使MA=2MO”轉化為“動圓C與阿波羅尼斯圓的位置關系（相交或相切）”，通過圓心C（a，2a-4），進而將問題轉化為關于a的一元二次不等式有解問題來處理，考查考生利用數(shù)形結合思想以及函數(shù)、方程、不等式之間相互轉化來解決問題的能力.

對差生而言，有很多是考查基本概念，基本運算，基本方法的題目，比如1，2，3，4，5，6，7，15，16，17（1）都是送分題.

三、注重通性通法，考查數(shù)學能力

2013年高考數(shù)學江蘇卷著重考查了教學大綱中所要求的幾種重要的數(shù)學思想方法，淡化特殊技巧，如函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結合的思想，分類與整合的思想，化歸與轉化的思想等.數(shù)學思想與方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中，它的掌握和應用也是形成數(shù)學能力的重要根基.即使是考查基礎知識的常規(guī)試題，也是常考常新，似曾相識中有一定新的內容，不曾相識的可以轉化為熟悉的問題.如用來壓軸的第20題第Ⅰ問就不屬于難題，把函數(shù)的單調性問題轉化為討論導函數(shù)的符號，這里考查了學生分類討論和分離參數(shù)的重要數(shù)學方法，而這些都是平時學生比較熟練的方法.所以，只要按照規(guī)范的步驟去做，要拿到滿分不是難事.

例4（2013年江蘇卷20題）設函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數(shù).

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數(shù)，試求f（x）的零點個數(shù)，并證明你的結論.

綜上a的取值范圍為a＞e.

（2）本題先根據(jù)g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數(shù)，來確定a的范圍.

下面要求f（x）的零點個數(shù)，即考查f（x）=0的根的個數(shù).

（1）若a≤0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增.此時f（x）=0有一個零點.

且當x→0時，f（x）→-∞；當x→+∞時，f（x）→-∞；

圖2

解法3：（數(shù)形結合）轉化為考查函數(shù)y1=lnx與y2=ax的交點個數(shù)問題.

（1）當a=0時，y1=lnx與y2=0有一個交點；

（2）當a＜0時，顯然只有一個交點（如圖2）；

圖3

圖4

（3）當a＞0時，先求處直線y=ax與y=lnx相切時的情況：

本題第二問，主要考查學生如何實施等價轉化、分類討論、數(shù)形結合，沒有較強的運算能力和深厚的數(shù)學功底還是難以做出最終結果的.彰顯了注重通性通法，考查數(shù)學能力的命題意圖，有利于高校對人才的選拔需要.

四、命題于知識的交匯處，突出數(shù)學知識之間的聯(lián)系

本次考題沒有追求知識的覆蓋面，但在各個知識點交匯處命題.力求從整體的高度去設計試題，以重點知識為核心，努力在幾個知識層面的交匯處命題，以檢驗學生能否形成一個有序的網絡化知識體系，并從中提取相關信息，靈活解決問題.例如15題以向量為紐帶，涉及三角函數(shù)、不等式，意在考查學生的基本概念，基本運算、化簡能力.

五、聯(lián)系實際，考查數(shù)學的實際應用

試題中第7題，18題是關于概率，三角函數(shù)的實際應用問題，主要考查學生對具體問題中的事件能否具體處理，并如何轉化為相關的數(shù)學模型.

例如18題，以游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處的兩種路徑為背景，考查學生能否運用學過的解三角形知識來解決實際問題，以及將距離最短的問題轉化為二次函數(shù)最值問題等.本題第一問主要考查學生解題的目標意識，只要在三角形中運用正弦定理即可解決，對于第二問要求考生既要有良好的建模意識，又要具備探索、演算能力；第三問要求考生既要有聯(lián)想的直覺能力，又要有轉化和論證的抽象思維能力.

這些問題貼近學生的實際生活，對數(shù)學的建模要求適當，難度與運算適度，較好的體現(xiàn)了考查數(shù)學應用的意識，對學生的閱讀理解有一定要求，同時檢測學生理解新事物，接受新信息的能力，充分體現(xiàn)了對學生實踐能力的要求，從而引導學生關心生活，關心時事.

總之，一份試卷要承載太多的功能，讓每個人都滿意確實是一件不容易的事，若是太簡單了，好生覺得拉不開差距；太難了，差生都不會做，也就失去了考試的意義，所以找到一個平衡點很重要.筆者認為，總體應該偏重中等生，讓好生、差生都有自己發(fā)揮的空間.由此看來，2013年江蘇高考卷是一份成功的、值得肯定的試卷.