關注知識交匯 適應高考創新——談2013年高考數學中平面向量與其他知識的交匯

☉廣東省東莞市茶山中學 唐續運

以能力立意命題，將知識、能力與素質融為一體，全面檢測考生的數學素質是高考數學命題的指導思想，在知識網絡的交匯處設計考題是高考命題的新特點和大方向.而平面向量及其運算是高中數學的新增內容，平面向量融數、形于一體，它具有代數與幾何的雙重特點，是中學數學知識的一個重要交匯點.以這一知識和方法為媒介可以和高中數學中的其他知識板塊如函數、方程、數列、平面幾何、三角、解析幾何的內容建立緊密的聯系，并貫穿其中、交匯滲透，使數學問題的情境新穎別致.

一、平面向量與平面幾何的交匯

點評：本題是在三角形中考查向量的基向量的解題思想，關鍵是抓住基向量.

點評：本題在四邊形的背景下考查向量垂直的判斷以及向量的模長.

圖1

又（x-a）2+y2=1，得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，則y2≤1.

同理由x2+（y-b）2=1，得x2≤1，即x2+y2≤2. ②

點評：本題就是在矩形中考查向量的模、向量的表示及不等式的綜合應用，學生在解決實際問題時要靈活轉化，才能將問題解出.

二、平面向量與三角函數的交匯

（1）求f（x）的最小正周期.

點評：本題借向量的數量積，考查三角函數的周期、圖像、化簡、最值等問題的綜合應用.

例5 （2013年高考江蘇卷）已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π.

（2）設c=（0，1），若a+b=c，求α，β的值.

點評：本小題主要借助向量的模，數量積考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數y=Asin（ωx+φ）的性質、同角三角函數的基本關系、兩角差的余弦等基礎知識，考查基本運算能力.

三、平面向量與圓錐曲線的交匯

例6（2013年湖南高考理科數學第21題）過拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1+k2=2.l1與E相交于點A，B，l2與E相交于C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為l.

設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個實數根.

從而x1+x2=2pk1，y1+y2=k1（x1+x2）+p=2pk12+p.

由題設，k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以

圓M的方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，

圓N的方程為（x-x3）（x-x4）+（y-y3）（y-y4）=0，

兩式相減得公共弦的方程為

2p（k2-k1）x+2p（k22-k12）y=0.

又k2-k1≠0，k2+k1=2，則l的方程為x+2y=0.

因為p＞0，所以點M到直線l的距離

故所求的拋物線E的方程為x2=16y.

點評：本題是在圓錐曲線的背景下，借助向量考查圓錐曲線中必須要掌握的基礎知識，并且通過圓錐曲線和直線聯立，利用設而不求，避繁就簡，解出所需的結果.因此我們必須要狠抓基礎知識，重視知識間的聯系，才能真正地提高分析問題和解決問題的能力、在高考中做到游刃有余.

四、平面向量與線性規劃的交匯

圖2

點評：本題通過向量考查了平面向量的線性運算、坐標運算、線性規劃問題，同時也涉及對兩條直線的位置關系、點到直線距離的考查，通過向量來考查學生對學過的知識的綜合應用.

五、平面向量與不等式的交匯

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

解法1：（基本不等式）

解法2：（坐標法）

如圖3，建立直角坐標系，設A（a，0），B（b，0），C（0，c），P（x，0），則

圖3

解法3：（用基向量進行轉化）

點評：本題考查了平面向量的數量積運算，是一個常規的考題，但是由于涉及動點變化的不等式恒成立，致使難度有所增大.需要考生熟練掌握向量數量積運算的方法，這正是問題的突破口.而實際上，數量積的運算一般有三個角度，一是直接利用數量積的定義；二是建立坐標系轉化為代數運算；三是利用基底進行轉化.

向量知識作為一個全新的知識，在高中數學學習中起到了溝通初等數學和高等數學的橋梁，向量是既有大小又有方向的量，它很好地體現了數與形的統一，使我們在研究數學問題時能“透過現象看本質”，借用了向量的工具性、溝通性將各種數學問題轉化為向量的幾何運算與代數運算，從而使問題得到解決.