感悟三次函數“對稱”魅力——探究一道高考題的解法及背景

☉江蘇省宜興中學 吳華平

一道背景深刻、極富韻味、凝聚了眾多命題專家智慧的好題，猶如掌上明珠，剔透晶瑩，讓我們愛不釋手、流連忘返.它往往背景新穎、呈現簡潔、內涵深刻、給人啟迪，有較強的啟發性、代表性、拓展性.若能對此進行多角度、深層次地思考，從中開發出解題的智慧和智慧地解題，則可以提高對數學問題本質的認識，達到舉一反三、觸類旁通的目的.2013年高考浙江卷理科第22題就是這樣一道獨具匠心、意境幽深的好題，本文探究其解法及揭示背景.現整理成文，與各位同仁交流.

一、題目與解法探析

題目已知a∈R，函數f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3.

（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

基本解法分析：（1）考查導數的幾何意義，過程略.

（2）本小題是在給定一個區間求最值問題，并不陌生，但由于涉及參數及絕對值，討論的情況比較多，較繁瑣.一般思路，可先討論函數是單調函數的情況，其次討論函數非單調情況，求出函數的極值，端點函數值，再比較四個函數值的絕對值的大小.其參考答案就按這種常規思路來分類討論，過程現簡單摘錄如下：

由于f′（x）=3（x2-6x+3a），x∈［0，2］，

下面討論：

二、背景揭示

證明如下：

由此得到如下結論：

三、新解

利用函數圖像的對稱性，可避免對參數過多的討論，命題者恰恰給出區間的中點與對稱中心橫坐標一致，由此看出命題者的一番苦心.

解：由于函數對稱中心為（1，1），x∈［0，2］，

③若0＜a＜1，由于點P（x1，f（x1））和Q（x2，f（x2））關于對稱中心（1，1）對稱，且A（0，f（0））和B（2，f（2））關于對稱中心（1，1）對稱，所以

若f（x1）＜f（2），只需f（x2）＞f（0），而

（注：求不等式的過程，先求x2的取值范圍，再求出a的取值范圍，避免了根式，轉化為整式較為簡單.）

張奠宙教授曾經這樣點評三次函數：三次函數的導數是二次函數，再次求導則成為一次函數，研究這“祖孫三代”的關系，看看哪些性質有遺傳性，它們的“DNA”有什么關聯，很是有趣.三次函數之美，在于其曲線之奇異美，對稱之和諧美，典型之共性美.隨著三次函數在中學深入研究和廣泛應用，相信它也能折射出我們欣賞數學時所感悟到的魅力.

1.侯典峰.一道高考填空題的深層探究［J］.數學通訊（下半月），2012（5）.

2.濮陽康和.感受三次函數的“美麗”種種［J］.中學數學教學參考（上旬），2011（6）.