教求有“度” 學方有“效”

☉江蘇省贛榆縣沙河中學 張慶華

教之道在于度，學之道在于悟.“度”就是教師基于對教材的鉆研和理解，準確定位教學目標，恰當地進行引導.正如有的專家所言：“千重要，萬重要，文本解讀最重要.”而“悟”就是學生在教師的精心引導下，逐步感悟數學知識，體驗數學思想方法，積累數學活動經驗.因此，有效教學需要研究教材，把握教之“度”；也需要研究學生，引導學之“悟”.

一、研究教材，把握教之“度”

1．求深度──真金不怕紅爐火，酒香不怕巷子深

教師教好數學的前提是理解數學要到位.如果自身數學理解不到位，不可能產生好課.所以研讀教材的首要任務是理解所教的數學知識，對數學知識的鉆研一定要有深度.“深度解讀”主要可以從以下幾方面入手：了解知識的背景，掌握知識的邏輯意義，理解知識的重點和難點、所反映的思想方法，懂得知識所蘊含的科學方法、理性思維過程和價值資源，能區分核心知識和非核心知識等.

如在學習“抽樣”這節課時，筆者從一個“生活的小插曲”引入.

媽媽：“孩子，再幫媽媽買雞蛋去，這次注意點，上次你買的雞蛋有好幾個都是壞的.”

孩子高興地跑回來.

孩子：“媽媽，這次的雞蛋全是好的，每個都打開看過了.”

媽媽：“啊！…”

學生看后，都情不自禁地笑了.老師適時地引導：“這樣的方法合適嗎？”學生異口同聲地回答：“不合適，因為這種方法帶有破壞性.”記得當時課堂上的氣氛很愉悅，學生的興趣很濃厚.接下來，筆者又拋出一個問題：品嘗一勺湯，就可以知道一鍋湯的味道，你知道其中蘊含的道理嗎？筆者適時地引導：學了今天這節課，同學們就能用數學的知識解釋這個道理了.你還能舉出生活中類似的例子嗎？如：何老師要買葡萄，先怎樣呢？此時，學生就能很快地回答：先摘一顆嘗嘗.學生也舉出了類似的例子：某人為了解要買的西瓜甜不甜，在西瓜的某個部位劃了一個三角口子取出來嘗嘗.

新課標提出“學生要能夠體會數學與自然及人類社會的密切聯系、了解數學的價值，增強對數學的理解和學好數學的信心.”浙教版數學教材提供了大量的問題情景素材，我們要學會選擇學生身邊的、生動有趣的、有利于學生探索的事物，創設鮮明的問題情景作為素材，以激發學生的興趣.

2.求廣度——問渠哪得清如許？為有源頭活水來

如果說“深度解讀”是在教材上挖一口井，那么“廣度解讀”就是在教材上開一條河.每一個具體的數學知識都是連接知識網絡的顆顆明珠.解讀教材時，我們不能孤立地看待各個數學知識點，而應把它放在知識系統中去解讀，要明確其地位、作用和前后聯系，善于引導學生連點成線，織線成網，形成數學知識的整體結構.同時，還要注意溝通數學各領域之間的關系以及數學與生活、數學與其他學科的聯系.

如：“坐標平面內的圖形變換”第二節課.教學例題：在直角坐標系中，平行于x軸的線段AB上所有點的縱坐標都是-1，橫坐標x的取值范圍是1≤x≤5，則線段AB上任意一點的坐標可以用“（x，-1）（1≤x≤5）”表示，按照這樣的規定，回答下面的問題：

（1）怎樣表示線段CD上任意一點的坐標？

（2）把線段AB向上平移2.5個單位，作出所得像，像上任意一點的坐標怎樣表示？

（3）把線段CD向左平移3個單位，作出所得像，像上任意一點的坐標怎樣表示？

教學中筆者在例題中這種規定的基礎上進一步拓廣引申：射線AB上任意一點的坐標（其中A（1，-1）、B（7，-1））該如何表示呢？直線AB上任意一點的坐標又該怎樣表示呢？線段AB上任意一點的坐標若表示為“（x，-1）（1＜x＜5）”，這條線段AB與例題中的線段AB有什么區別呢？

這樣挖掘例題，符合有效教學的標準“教學要有價值”；也符合課堂教學中的理想提問“提問有階梯性”.通過變式題，學生真正理解了這種表示法，突出了重點，分散了難點，形成了有效的課堂教學，教學有效果.在教學中，還可以對例題的結論開拓引申，使其更具開放性，對學生的思維可起到很大作用.如在幾何教學中，教師可以這樣引導：在這個結論的基礎上，引申一下，圖中的線段或角還有哪些相等關系？或還有哪些結論？筆者還經常對教材中的練習題和作業本中的題進行挖掘.特別地，對于一題多解，應在學生完成解題之后歸納學生的各種解法，比較并得出最優解.

3.求細度──舊書不厭百回讀，熟讀深思子自知

葉圣陶先生曾說過：“一字未宜忽，語語悟其神”.西方文學評論中也有“文本細讀”法，所以解讀教材還要注意教材的細度.細度解讀，就是要反復鉆研教材上的每一個例題，仔細推敲教材上的每一句話，每一幅主題圖，認真體會每一道習題的設計.要從文字到標點，乃至一切細枝末節都進行思考，于細微處見精神.

如在教學“分式（1）”中課本的例2，學生要解決這題還真是不容易，更別說對結果中的代數式所表示的實際意義的理解了.于是，筆者把題目改為：

甲、乙兩人從一條公路的某處出發，同向而行.如果乙提前1小時出發，

（1）已知甲每小時行6千米，乙每小時行4千米，則甲追上乙需______小時.

（2）已知甲每小時行a千米，乙每小時行b千米（a＞b），則甲追上乙需______小時.

（3）在（2）中，若a=7，b=8時，（2）中的分式有意義嗎？它所表示的實際情境是什么？

（4）在（2）中，若a=8，b=8時，（2）中的分式有意義嗎？它所表示的實際情境是什么？

這樣處理教材后，學生不難解決各個問題，同時能明了代數式在數學中的意義與在實際情境中的意義是有區別的，也就達到了講解此例題的目的了.

建構主義認為：人的認識本質是主體的“構造”過程.所有的知識都是我們自己的認識活動的結果，我們通過自己的經驗來構造自己的理解，反之，我們的經驗又受到自己的認知的影響.

二、研究學生，彰顯學之“效”

1.求適度——欲把西湖比西子，淡妝濃抹總相宜

量與質的統一叫做度.在課堂教學中，同樣存在著數量與質量是否統一，即教學是否適度的問題.研究適度教學，不僅僅是研究課堂容量的大小，也不僅僅是研究因材施教，而是要研究教學相長的結合點，并且要深入到課堂上各種狀態的本質中去探討和研究.要重點研究學生的知識狀態和心理水平，了解學生的學習起點，分析教學重點和難點，選擇適當的教學方式進行教學.

2.求角度──橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同

在中學數學教學中，同一個教學領域，同一個教學內容，都可以根據學生的認知特點和數學知識的特點，從不同角度進行設計，但都要幫助學生更好地掌握數學知識和方法.

例如，在“一次函數”的教學中，為了讓學生理解和掌握一次函數的解析式與它的圖像之間的關系，并介紹待定系數法，教學時可把原題拓展，設計成有層次的題組.

個人問題：（1）已知一次函數的圖像經過（-3，-5）和（2，5）兩點，①求一次函數的關系式；②求該一次函數與兩坐標軸的交點坐標；③作出該函數的圖像.

同伴問題：（2）如圖，根據函數的圖像，求出函數的關系式.

小組問題：（3）如上題中一次函數與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求△ABO的面積.

班級問題：（4）線段AB（包括端點A、B）上，橫、縱坐標都是整數的點有幾個？

根據學生的個體差異性，針對班級學生的實際情況，把課堂內容分為四個層次的問題，能充分發揮每個學生的智力潛能，體現了新課程的核心理念：一切為了每一個學生的發展.各個層次的學生都有收獲，讓學生在體驗成功中激發進取精神，可以起到以點帶面的效果，形成一個人人參與、同伴互助的良好學習氛圍，從而獲得更大的教學效益.

3.求效度──等閑識得東風面，萬紫千紅總是春

效度即有效性，教學效度就是教師的教與學生的學之間所能達到的有效程度.它是指教師的教學設計和教學方法能夠幫助學生掌握基本知識，形成基本技能，積累基本經驗，體會基本思想方法.教學效度特指通過教學所獲得的實際結果能反映所要教學內容的程度，教學結果與學生掌握知識的程度越吻合，則教學效度越高；反之，則教學效度越低.

如教學“二元一次方程組的應用”，通過對一份中學生營養快餐的檢測，得到以下信息：①快餐總質量為300克；②快餐的成分：蛋白質、碳水化合物、脂肪、礦物質；③蛋白質和脂肪含量占50%，礦物質含量是脂肪含量的2倍，蛋白質和碳水化合物含量占85%.根據上述數據回答下面的問題：（1）分別求出營養快餐中蛋白質、碳水化合物、脂肪、礦物質的質量和所占百分比；（2）…

由于該應用題信息量大，所求量有4個，給學生的第一感覺是有些棘手，找不到問題解決的切入口.備課時主要考慮指導學生用“圈點劃”審題，用簡略的數學語言表示等量關系和如何設元，緊緊圍繞問題建構框架.

問題1：用簡略的數學語言表示等量關系：

（1）蛋+碳+脂+礦=300；（此等量關系在教師點撥下完成，以下式子由學生討論完成）

（3）礦=2×脂；

問題2：你能根據哪條信息進行恰當的設元和求解？

生1：設蛋為x克，脂為y克，由（1）、（3）、（4）組合，得x+300×85%-x+y+2y=300.

生3：這不是同一種想法嗎？只是列方程和列方程組形式不同而已.

師肯定了生2回答的正確性，并借生3的話語指出，多種方法的前提應該是多種角度選擇，而非僅僅是形式不同.

生4：只需設脂為x克即可，由（3）、（4）′組合，得x+2x=300×15%.

學生見到如此簡便的方法，掌聲驟然響起.

這樣給出框架式的教學環節設計，便于學生將新的學習材料同自己原有的認知結構聯系起來，不同的選擇或演變等量關系凸顯不同的精彩生成，是主動建構而不是被動的機械過程，打破了傳統教應用題的說教模式，注重學生的主體地位和課堂開放，使學生的舊知在教師的引導下得到了升華，預設目標就這樣在生成中添入了靈活、創新的成分，提升了水平，實現了超越！