例析“動點的路徑長”中考壓軸題解題策略

☉江蘇省淮安市淮海中學 張建華

著名數學家弗蘭登塔爾曾說：“從來沒有一種數學的思想會像當初被發現時那樣付諸文字，一旦問題解決了，思考的程序便顛倒過來，把火熱的思考變成冰冷的美麗”.動點問題是近年來中考的熱點，其中有關直接寫出動點的路徑長的中考題也備受各地中考命題者的青睞，由于動點所經過的路徑是隱性的，這類試題能全面考查數學活動過程、數學活動經驗的積累、解決問題的能力及數學應用意識和創新意識，動點問題要經過火熱的思考，才能得出冰冷的美麗，因此，這類問題常是填空題、選擇題、解答題中的壓軸題，而在解答題中常是直接寫出動點的路徑長．

一、解題策略

因動點所經過的路徑長可求，故常見的動點所經過的路徑有線段和圓弧兩類．路徑雖是“隱性”，但用三點這“X光”顯其形（即起點、過程點和終點三點確定其形狀），五步解決問題．具體五步是：一畫，畫出動點的起點、過程點和終點；二看，觀察三點是否在一直線上；三猜想，在一直線上是線段，不在一直線上是圓弧；四驗證，線段型常用中位線或垂直平分線等知識解決，圓弧型常利用“有對稱性”和“90°的圓周角所對弦是直徑”等知識確定圓心和半徑；五計算，常用勾股定理、相似三角形等知識進行求解.多媒體的普及，對于數學教學的作用是不容忽視的，特別是幾何畫板在解決動態問題的作用真是妙不可言的，讓我們在圖形變化的過程中體驗、把握、認知數學的美.本文例舉近幾年的中考題進行歸類剖析，供2013年中考復習教學參考，并試圖用幾何畫板進行動感體驗.

二、分類剖解

圖1

（一）線段型

1.中位線型

例1 （2012年湖南張家界）如圖1，已知線段AB=6，C、D是AB上兩點，且AC=DB=1，P是線段CD上一動點，在AB同側分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點，點P由點C移動到點D時，G點移動的路徑長度為______.

解析：如圖1，分別延長AE、BF交于點H，連接HD，過點G作MN∥AB分別交HA、HD于點M、N.

因為△APE和△PBF是等邊三角形，所以∠A=∠FPB=60°，∠B=∠EPA=60°.

所以AH∥PF，BH∥PE.

所以四邊形EPFH為平行四邊形.

所以EF與HP互相平分.

因為點G為EF的中點，所以點G也正好為PH中點，即在點P的運動過程中，點G始終為PH的中點.

所以點G的運行軌跡為△HCD的中位線MN.

因為AB=6，AC=DB=1，所以CD=6-1-1=4.

所以MN=2，即G的移動路徑長為2.

動感體驗：打開幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標系］→在x軸上取點A、C、D、B→選中點C、D→［構造］→［線段］→在線段CD上取點P→選中線段CD→右鍵→［隱藏線段］；（2）選中點A、P→［構造］→［線段］→雙擊點A→［變換］→［旋轉］→［固定角60度］→回車得到線段AE→點A、E→［構造］→［線段］→等邊△APE；（3）同樣方法構造等邊△BPF；（4）點E、F→［構造］→［線段］→選中EF→［構造］→［中點］→記為G.

如圖2，選中點G，右鍵→［追蹤點］，拖動點P，G點的路徑是一線段.

圖2

例2（2010年江蘇南京）如圖3，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發，沿AB運動到點B停止，連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連接EG、FG.

（1）設AE=x時，△EGF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）P是MG的中點，請直接寫出點P的運動路線的長.

圖3

圖4

分析：（1）略.（2）如圖4，畫出當動點E在起點E1、過程中E1E2上、終點E2時，對應P點為P1、P和P2，發現P1、P、P2這三點在一直線上，易證點P的路徑為△MG1G2的中位線，又易證△MG1G2∽△BAM，從而求出G1G2=4，故P1P2=2.

當點E與點A不重合時，0＜x≤2.

在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，

所以∠MDF=90°，所以∠A=∠MDF.

因為AM=DM，∠AME=∠DMF，所以△AME≌△DMF.所以ME=MF.

過M作MN⊥BC于N，則∠MNG=90°，∠AMN=90°.

因為MN=AB=AD=2AM，所以∠AME+∠EMN=90°.

因為∠EMG=90°，所以∠NMG+∠EMN=90°.

所以∠AME=∠GMN，所以Rt△AME∽Rt△NMG.

所以y=2x2+2（0≤x≤2）.

（2）點P的運動路線長為2.

動感體驗：打開幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標系］→在y軸上取點A，原點B→選中點A、B→［構造］→［線段］→雙擊點A→［變換］→［旋轉］→［固定角90°］→回車得到線段選中線段AD，同樣方法將線段AD繞點D旋轉90°，得線段CD，連接BC，得正方形ABCD；（2）選中線段AD→［構造］→［中點］得AD中點M；（3）在線段AB上取一點E→選中E、M→［構造］→［射線］；（4）選中線段CD→右鍵→［隱藏線段］→選中C、D→［構造］→［射線］，兩射線交點為F；（5）選中M、射線EM→［構造］→［垂線］→交BC于點G；（6）選中射線ME→右鍵→［隱藏射線］→選中點M、G→［構造］→［線段］→［構造］→［中點］記為P.

圖5

如圖5，選中點P，右鍵→［追蹤點］.拖動點E，P點的路徑是一線段.

2.線段的垂直平分線型

例3（2011年福建三明）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F，連接EF（如圖6）.

圖6

圖7

（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖7），求PC的長.

（2）探究：將直尺從圖7中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止.在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：

①tan∠PEF的值是否發生變化？請說明理由.

②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經過的路線長.

圖8

圖9

又因為∠BPC=90°，所以∠APB+∠DPC=90°.

所以∠ABP=∠DPC.

（2）①tan∠PEF的值不變.

理由：過點F作FG⊥AD，垂足為點G，則四邊形ABFG是矩形.

所以∠A=∠PFG=90°，GF=AB=2.

所以∠AEP+∠APE=90°.

又因為∠EPF=90°，所以∠APE+∠GPF=90°.

所以∠AEP=∠GPF，所以△APE∽△GPF.

所以tan∠PEF的值不變.

（二）圓弧型

1.利用對稱性確定圓心和半徑

例4 （2012年江蘇鎮江）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，2），直線OP經過原點，且位于第一、三象限，∠AOP=45°（如圖10），設點A關于直線OP的對稱點為B.

（1）寫出點B的坐標______.

（2）過原點O的直線l從直線OP的位置開始，繞原點O順時針旋轉.

①當直線l沿順時針方向旋轉10°到直線l1的位置時（如圖10），點A關于直線l1的對稱點為C，則∠BOC的度數是______，線段OC的長為______；

②當直線l沿順時針方向旋轉55°到直線l2的位置時（如圖11），點A關于直線l2的對稱點為D，則∠BOD的度數是______；

③當直線l沿順時針方向旋轉n°（0＜n≤90°）時，在這個運動過程中，點A關于直線l的對稱點所經過的路徑長為______（用含n的代數式表示）.

圖10

圖11

解析：（1）如圖10，由∠AOP=45°，點A在y軸上，得點A關于直線OP的對稱點B在x軸上.根據“軸對稱和線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等”的性質可知B（2，0）.

動感體驗：打開幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標系］→在y軸上取點A（0，2）；（2） 點擊畫圓工具→畫出⊙O；（3）任取點C，選中O、C→［構造］→［直線］，得直線l；（4）選中點A、直線l→［構造］→［垂線］，交⊙O于點B；（5）選中⊙O→右鍵→［隱藏圓］.

圖12

如圖12，選中點B，右鍵→［追蹤點］.旋轉直線l，B點的路徑是圓.

2.利用90°的圓周角所對弦是直徑確定圓心和半徑

例5（2011年浙江湖州）如圖13，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點.P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D.

（1）求點D的坐標（用含m的代數式表示）；

（2）當△APD是等腰三角形時，求m的值；

（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖14），當點P從點O向點C運動時，點H也隨之運動.請直接寫出點H所經過的路徑長.（不必寫解答過程）

圖13

圖14

圖15

解：（1）由題意得CM=BM.

因為∠PMC=∠DMB，所以Rt△PMC≌Rt△DMB.

所以DB=PC，所以DB=2-m，AD=4-m.

所以點D的坐標為（2，4-m）.

②若PD=PA，過P作PF⊥AB于點F（如圖13），

③若PD=DA，因為△PMC≌△DMB，

動感體驗：打開幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標系］中，畫出正方形ABCD.（2）選中線段BC→［構造］→［中點］得BC中點M.（3）在OC上取點P→［度量］→［縱坐標］，記為m；同樣方法，點M的橫坐標為xm點B的縱坐標為yB.（4）［數據］→［新建函數］→輸入g（x）→回車→選中g（x）右鍵→［繪制函數］，得拋物線g（x）.（5）拋物線g（x）與x軸交點為E.（6）選中M、E→［構造］→［直線］→選中O→［構造］→［垂線］，垂足為H.

如圖16，選中點H，右鍵→［追蹤點］.拖動P，H點的路徑是圓弧.

圖16

三、幾點思考

1.要引導學生解題后要反思

在解題過程中，要求學生不能僅滿足于問題已解決，要引導學生審視問題，探究問題的本質，通過歸納總結，從而提高學生的思維水平，使思維得到拓展，從而達到做一題會一類，甚至知一片的目的.

2.沒有過程就沒有思想

在教學中，讓學生自主探究問題的過程，要留有余地，讓學生有思有想，培養學生解決問題的方法，體會從幾個特殊點入手，通過觀察、猜想、驗證、證明的過程，從中積累經驗，從而達到“授之以漁”的目的.

3.要通過典型問題，進行適當拓展

在中考復習時，要立足課本，瞄準課標和中考說明，既要訓練好基礎題，也要在知識方法上適當拓展，提高學生中考的適應性.

4.不斷更新教學理念，提高教學能力

教學中要不斷更新教學理念，提高教學能力，多媒體的普及，對于數學教學的作用是不容忽視的，特別是幾何畫板在解決動態問題的演示時，很直觀地讓我們在圖形變化的過程中體驗、把握、認知數學的美.因此，作為教師也要不斷地學習，才能與時俱進，為提高教學質量而達到事半功倍的效果.