數學實驗教學中的“技”與“道”——由一則觀摩課引發的教學思考

☉江蘇省南京市河西中學 郭 鋒

筆者近日觀摩了一節驗證型數學實驗研討課，實驗主題是“二次函數的圖像與一元二次方程的近似根”．執教者是一位年輕的教師，數學實驗也是一項較新的課題，尚在摸索的路上，能讓學生真正“動”起來、課堂切實“活”起來，讓無聲的思考和有聲的說題始終穿行于課堂，實屬不易、飽含艱辛，應該得到一定層面的認同與贊可．但若能關注和關照數學實驗教學中的“技”與“道”，方能讓課堂充滿地氣，成就靈氣，學生也才能體驗到數學實驗原本應有的歸屬感（數學思想方法）．

本文是筆者全程觀摩并踐行課堂后的幾點思考，供同行交流研討．

數學實驗指為探究數學知識、發現數學結論或假設而進行的某種操作、試驗或思維活動，是探索性學習和教學的形式．它的本質是具有可操作性、探究性和創造性，張揚個性化的求異精神；其經典內涵是緩慢的過程性、參與的高指數、感悟的多元化以及知識經驗的再生性和生態興趣的持續性．

本次數學實驗的出發點是為解決正統課堂無法有效生成的知識而采取的補救措施，它的落腳點是發展學生的思維內力和生命的張力．抽象的數學思想方法無法用言語傳遞，尤其是“逼近的思想方法”更讓“說教”無能為力．在學習“二次函數的圖像與一元二次方程的近似根”時，采用傳統的講授法，學生獲得的知識只能停留在計算的技術層面，無法將“技”轉化為“道”（思想方法）；借助數學實驗的手段，能讓無形的思想方法實體化，能讓學生的思維超越“技”的層面，漸次到達“道”的境界．但在實驗的過程中，必須滴灌思想方法、張揚大道至簡、突破邊界思維，這樣才能揭示實驗的本質，回歸實驗的理性，復歸實驗的知性，實現知識經驗的正向累積，提升思維的能見度，達成數學實驗的本質初衷．

一、滴灌思想方法：數學實驗課的本質揭示

案例1 借助函數y=2x2-1的圖像，試寫出方程2x2-1=0的一個近似根（精確到0.1），并說明理由.

完成表格1.

表1

由表格1可知方程一個近似根x的大致范圍是_____.完成表格2.

表2

由表格2可知方程這個近似根x的精確范圍是_____；近似根是______；寫出另一個近似根是______，理由是______.

執教者設計了問題的具體指向，目的是照顧學生的差異性，讓每一個學生都有能力參與，都能獲得或多或少的生命體悟.但讓所有的學生就題論題（填填表格、算算數據、寫寫答案），學生的思維不能獲得應有的實質性的鍛煉，僅停留在低級的“技術”（計算）層面，無法觸及數學實驗追求的“道”（思想方法）的境界，和傳統的說教殊途同歸，喪失了數學實驗的原始意義.執教者若能站在思想方法的平臺上，關照學生的層次性，多角度審視問題，因“材”支教和因“才”施教，則能讓每個學生在原有的基礎上獲得原本應有的發展.

在具體實驗的過程中，執教者借助幾何畫板呈現了完滿的二次函數的圖像（沒有根據差異性作出適當的技術處理），引導學生觀察圖像上函數值為0的點的位置特征（恰在x軸上），以及函數值y=0時，附近的點的函數值的特征（一側的函數值大于0，另一側的函數值小于0），整理二次函數的圖像與一元二次方程近似根的關系（表示根的點的兩側函數值的乘積小于0）.然后讓學生借助算理，給出表格數據，讓學生代表分析數據，闡釋思考路徑，給出問題答案（一個近似根的大致范圍是0.7＜x＜0.8，精確范圍是0.70＜x＜0.71，近似根是x≈0.7；大部分同學利用圖像的對稱性寫出另一個近似根是x≈-0.7，一小部分同學在范例的引領下，借助表格再操作獲取另一個近似根）.這樣的處理流程，不經意間限制了學生思維的發展，整齊劃一的計算操作，讓學生的思維局限于計算的技術層面，偏離了數學實驗的本質（體悟逼近思想）.

其實，執教者若能靈活變換問題，讓學生在多層面研習問題，則能讓學生各得其所，收獲不同層面的發展.課前應依據“思維現實”將學生分為三檔（在心中）；實驗載體可以從三個層面呈現（除原生態的呈現外，可以隱去坐標軸上的坐標和表格中的數據），這樣既關照了學生的層次性，又能讓學生學有所得、學有必得、學有優得，還能跨越數學實驗的低端“技”（計算）達到實驗的高端“道”（數學思想方法）.可以讓學困生就題論題，習得基本的計算技術，獲得“我也能做”的驚喜.就中檔生而言，可以隱去坐標軸上的坐標，讓學生在表格的引領下，在圖像的半參與下，解釋“表格中的端點數據是怎么來的”，這樣就能引動學生的估算思想，采用滴灌的方法（慢慢滲透），加寬學生的思考時空，讓思想方法站在計算的“肩膀上”緩慢生長.針對學優生而言，既要隱去坐標軸上的坐標，還要隱去表格中的數據，讓學生在估算思想和二分法的幫助下，嘗試確定端點數；在精確度的要求下，再漸次細化端點數，讓逼近思想催生方程的近似根.在滴灌逼近思想方法的過程中，讓學生的思考從無序逐步走向有序，在思維內層衍生近似根范圍的必然性和合理性.最后要借助幾何畫板動態演示函數值y=0時，附近的點的函數值的特征，讓學生在切身操作中感受“兩邊逼迫法”的內在要義和實踐價值，從而讓實驗中的“技”提升為理解的“道”，這才是本次實驗的真正初衷.因此，唯有滴灌思想方法，方能揭示數學實驗課的內在本質.

二、張揚大道至簡：數學實驗課的理性回歸

案例2 根據函數y=x2+2x-5的圖像（隱去坐標軸上的坐標），求出方程x2+2x-5=0的一個近似根（精確到0.1）.

（1）觀察圖像并借助幾何畫板，完成表格3.

表3

（2）結論：___________________________________.

（3）猜想方程x2+2x-5=0的另一個近似根并說明理由.

實驗結論及分析：____________________________.

在運作的過程中，執教者讓學生在觀察圖像的基礎上，借助幾何畫板填寫表格.源于學生經歷案例1的打磨，累積了實戰經驗，容易找到確定近似根的實驗路徑，操作起來不像開始時那樣茫然無措，臉上寫滿了自信的表情，思維也很快找到了實驗的話題.孩子們大致采用以下幾種做法.

由于苗族聚居區的聚居特征以及其位置、傳統文化的影響，苗族銀飾鍛造技藝的傳承習慣是傳男不傳女，傳內不傳外。且因歷經多年的發展以及其比較重，價格較貴等各種因素的影響，選擇整套、具有苗族特征銀飾的顧客越來越少，苗族銀飾的盈利性并不明顯。在這種情況下，很多年輕人選擇外出務工，因此現今懂得苗族銀飾鍛造技藝的人非常少，且基本上都是老一輩勞動者，這些人文化程度普遍偏低，經濟水平也相對一般，對蘊含豐富文化內涵的苗族銀飾不甚關注。

①通過解一元二次方程的方法，估算方程x2+2x-5=0的近似根的范圍（1＜x＜2或-4＜x＜-3），在逐次“用取中點的方法縮小探索范圍”的幫助下，給出符合表格要求的自變量x的值（自上而下是1、2、1.5、1.25、1.40（1.375的近似值）、1.45等）.這種主動關聯一元二次方程的解法，借助可視的函數圖像連接估算思想的處理視角，是一種成功的思維聯手，融匯了思想方法（估算思想、數形結合思想、方程思想），鍛煉了思維張力，加強了思考內力.

②借助幾何畫板重新畫出函數圖像，顯示隱去的坐標，找到近似根的逐級范圍.雖然直觀明了，卻喪失了具體的估算的機會，錯過了體驗的契機，引發了思維斷層.

③借助畫函數圖像的草圖，找到了近似根的逐級范圍.雖然費時費力，卻能在畫圖中提前感受逼近的思想，在錯過了估算（端點的估算）機會的同時也贏得估算的契機（畫圖的過程充滿著估算的思維）.

④直接借助課本，復制了近似根的逐級范圍.雖然省時省力，卻錯過了體悟思想方法的機會，沒有獲得本可以得到的一定層面的微發展，實為可惜.

方法①③雖然有點“笨”，但都是通向通法，能讓學生獲得舉一反三、觸類旁通的思維生長力，能讓計算和作圖“技能”演變為體驗數學思想方法的支架，達到“道”的視界.最笨的探索方法往往又是最自然、最簡單、最通用的方法，也是最理性的方法，給人一種“大道至簡”的感覺，能讓人明白知識經驗的來龍去脈，能獲得常學常新的內力.

在借助幾何畫板運行“二分法”逐次逼近使函數值為0的點、在精確度的參與下（精確到0.1）、給出函數值y=0時x的近似值（即相應的一元二次方程的近似根）這一模塊時，為幫助學生理解近似根確定方法的可信性，讓每個學生借助畫板動態演示函數值y=0時，附近函數值的變化過程，在躬耕勞作中體驗“無限逼近的思想方法”，讓知識產生有根有據、經驗方法擲地有聲，實現數學實驗的理性回歸.在操作的過程中，數據的獲得與分析，逼近思想的可感化，幾何畫板的循序運作，思考過程的展現等伴隨著理性思維，濃縮了“道”的內涵，“技”“道”并進，讓學生在不經意間明白知識方法的源起，清清楚楚感受言語無法說清楚的“逼近思想”．因此，張揚大道至簡，方能讓數學實驗回歸理性．

三、突破邊界思維：數學實驗課的知性復歸

案例3 寫出一個兩根均為無理數的一元二次方程，借助函數圖像驗證該方程的近似解．完成表格4.

表4

這個活動創設的目的是讓學生在開放的文本環境下考量自己的綜合應答能力．兩根均為無理數的方程的確定需要利用根的判別式知識以及解方程的逆向思維能力；對應函數解析式的確認需要轉化能力的參與；自變量與函數值的確定需要從前實驗中獲得的經驗的奠基以及運算的幫助；實驗結論的歸納（一例一悟式），借助估算的幫助，能讓新知敞亮通透，屏蔽雜蕪．同時活動的開放度較高，能讓學生在自己理解的知識層面選擇自己喜歡的操作載體，既吻合個體興趣指向，又唱響了“不同的人在數學上能獲得不同的發展”的新課標理念．

在具體操作的過程中，執教者秉持放逐思維的實驗理念，大膽放手讓學生自己“玩”．起初，很多學生給出的方程要么沒有根，要么根為有理數，心情很急躁．教師并沒有為節省時間告訴學生該怎樣做，而是讓學生把不符合條件的方程整理在展板上，下放給小組交流研討，尋找癥結所在，查明病因．經歷計算、觀察、分析、碰撞、質疑以及思辨，終于獲得了寫出符合條件的一元二次方程的通法（方程各項系數為有理數，根的判別式的結果是不為完全平方數的正數）．至此，學生的先期計算、試寫過程、逆向思維、判別式的運用等飽含計算機理的“技”上升為“道”（通法）．這期間，看似浪費很多時間，不如教師的簡單提示那樣經濟節約．但是煞費周折的讓學生自我突破內層思維的邊界、拉動知識鏈條，是個體思維的生動經歷，永遠扎根于思維的頂層，到達終身難忘的境界；而教師的體驗是不能代替學生的體驗的，“教師拋得越快，學生忘得越徹底”！因此，浪費點時間值得做、應該做、必須做．“記憶與慢成正比，遺忘與快正比”，米蘭·昆德拉如是說．

為揭示方程和函數圖像的內在關聯，讓學生借助幾何畫板畫出草圖并驗證近似根的合理性．在具體運作的過程中，學生通過計算、畫圖、取特殊值、尋找特殊點的方法，再度體驗了逼近思想、估算思想、特殊到一般的思想等，形成個性的應答策略，發出了自己理解的聲音，生成了理解的數學思想方法，實現了“技”“道”共生共贏的知性復歸．

四、點滴隨感

其一，數學實驗作為活動的一種形式，應該具有活動的共性表征和個性特質．低起點，讓每一個學生都能參與，都有能力“玩”，不可一刀裁剪實驗目標；新鮮感，讓學生覺得好玩，自覺進入“追蝴蝶”的境界，思維含金量不是唯一的考量標準；生態性，讓學生在活動中獲得生長的內力，立足于生命的長遠發展，解決問題的數量不是評價的重要指標；簡約性，讓學生伸手能夠得著（剪剪、拼拼、算算、看看、做做等）還需跳一跳，流程簡明，操作簡易，能在一定層面上催生不易理解的知識，思維的能見度不作整齊劃一．

其二，數學實驗教學中的“技”是“道”的根基，“道”是“技”的靈魂．沒有“技”的鋪墊，“道”就成了無源之水；沒有“道”的統攝，“技”就成了無魂之木．“技”能衍生“道”，“道”能提升“技”；“技”與“道”共融共長，交互促進，相互提攜；唯有兼顧“技”、“道”，才能打造數學實驗的品質．“小技”生“小道”，“大技”生“大道”，“道”“技”諧振是數學實驗永遠的精神追求！