“意外驚喜”源于以生為本的方案設計——“多邊形內角和”的探索方案片段

☉安徽省蚌埠市新城實驗學校 高厚良

2013年4月9日蚌埠新城實驗學校與淮北二中進行了一次跨地區的校際交流課，筆者與淮北二中的馬太平老師共同執教了滬科版數學八年級下冊“多邊形內角和”（第1課時），本課時的難點是探索多邊形的內角和，為突破這一難點，筆者及本校數學組全體教師認真對文本進行了解讀，精心設計了四種預設方案，現將這四種方案、最終方案確定的依據以及筆者對本環節的思考整理成文，以供廣大同仁研討.

一、方案呈現

1.方案1

在學生敘述出三角形、長方形的內角和分別是180°、360°后，向學生提示如下問題：

問題1：是不是任意一個四邊形的內角和一定是360°呢？你可以采用什么方法來驗證你的猜想？

若學生回答可通過測量時，教師可通過幾何畫板演示，并指出測量有限個四邊形還不足以說明所有的四邊形都有同樣的結論（一般性），測量存在誤差，還需要進行嚴格的論證，進而引出連接對角線，把四邊形分割成兩個三角形來確定.

問題2：將一個任意四邊形問題轉化為三角形問題，還有其他方法嗎？你能用算式表示出來嗎？

學生經過討論，最終形成如圖1、圖2、圖3、圖4所示的四種分割方案

如圖1，過一個頂點作1條對角線，得到2個三角形，內角和為2×180°；

如圖2，在四邊形內部任取一點，得到4個三角形，內角和為4×180°-360°；

如圖3，在四邊形邊上取一點（該點不與頂點重合，若與頂點重合，轉化為第一種情況——連接對角線）得到3個三角形，內角和為3×180°-180°；

如圖4，在四邊形外部取一點，得到4個三角形，內角和為3×180°-180°.

圖1

圖2

圖3

圖4

問題3：你能用以上四種不同方法分別求出五邊形、六邊形的內角和嗎？

問題4：請用不同的方法求出n邊形的內角和.

問題5：對于n邊形內角和探索出的算式（n-2）·180°；180°n-360°；180°（n-1）-180°，它們之間有什么聯系？

2.方案2

問題1：四邊形的內角和是多少度？你是怎么想的？

在學生回答出從一個頂點引對角線把四邊形分成兩個三角形，從而得出內角和為360°后，讓學生利用這一方法，完成探究表：

問題2：你還有什么方法可以確定五邊形、六邊形、…、n邊形的內角和呢？

學生分小組討論確定可以通過在多邊形內部、邊上、外部取點的方法確定多邊形的內角和.

問題3：（n-2）·180°；180°n-360°；180°（n-1）-180°，這三個計算n邊形內角和的表達式有什么聯系？

3.方案3

問題1：如圖9，若連接四邊形的一條對角線，你可以確定四邊形的內角和嗎？為什么？

圖9

圖10

問題2：如圖10，若連接四邊形的兩條對角線，兩條對角線相交于點O，你能利用該圖確定四邊形的內角和嗎？

問題3：若移動點O的位置，O點可能在四邊形的什么位置？你能利用相應的圖形確定四邊形的內角和嗎？

問題4：類比四邊形的探索方法，你可以用哪些方法來確定五邊形的內角和？

問題5：確定五邊形的內角和，可不可以把五邊形轉化成一個四邊形和一個三角形呢？

問題6：六邊形的內角和又應該如何確定呢？

問題7：根據你的探索，你能完成下面的表格嗎？

4.方案4

在學生敘述出三角形、長方形的內角和分別是180°、360°后，向學生提出如下問題：

問題1：是不是任意一個四邊形的內角和一定是360°呢？若要用幾何推理的方法驗證這一猜想，你能有哪些方法？

（學生交流討論，教師盡可能多地展示學生的方法）

問題2：（在學生眾多方法中選取如下四種方法）這幾種方法有什么共同點？

圖15

圖16

圖17

圖18

問題3：在剛才出示的四種方法中，哪一種方法更為簡潔？

問題4：利用過一點連接對角線的方法，你能很快確定五邊形、六邊形的內角和嗎？

問題5：過五邊形、六邊形的一個頂點引對角線，分割成的三角形個數與它的邊數之間有什么關系？

問題6：過n邊形的一個頂點可分割成多少個三角形？由此你能得出n邊形的內角和嗎？

二、方案分析

以上四個方案都本著“有利于學生體驗與理解、思考與探索，注重過程與結果”的教育理念，使學生在思考探索中把知識轉化為智慧.在探索的過程中都遵循“由特殊到一般”的探索方法，但每種方案又各具特色.

方案1最大亮點就是整個探索過程讓學生從不同的角度尋求解決問題的途徑，給學生提供展現思維的平臺，通過組織測量、類比、推理等數學活動，著重引導學生探索多邊形的內角和公式.但這一方案的實施由于時效性較差，五邊形、六邊形、n邊形內角和的探索與四邊形內角和的探索有重復之嫌，且八年級下冊，學生對幾何的學習，應該由以前的實驗幾何為主轉為推理幾何為主，再用測量這種方式去驗證四邊形的內角和，確有不妥，基于以上原因，這一方案最后被否決.

方案2的最大亮點就是能高效、快速地探索多邊形的內角和，先以提問的形式向學生暗示可借助三角形的內角和證明四邊形的內角和，學生很快便能想到由四邊形的一個頂點出發引一條對角線，將其分割成兩個三角形，再通過完成表格使學生形成一條完整的思維鏈.該方案的缺點就是學生失去了一次進行發散思維訓練的機會，多邊形內角和公式推導出以后，再用不同的方法去探索四邊形的內角和，有點本末倒置的味道，此時學生也失去了探索的積極性，基于這個原因，方案2最后也沒有被采納.

方案3的最大亮點是降低了探索的“難度”，通過對角線交點的移動，使學生體會到什么是任意一點，這一點可以在多邊形內部、邊上、外部，通過這一點把多邊形轉化為三角形問題來處理，滲透了點與平面圖形的位置關系的知識.不足之處是通過點的移動，容易束縛學生的思維，使學生認為四邊形問題僅可以轉化為以上幾種形式，故此方案最終也被否決.

方案4最大的亮點是通過開放式問題，給學生充分思考的空間，讓學生的思想真正解放，為了追求課堂的高效，本方案從四邊形入手，一方面通過學生討論，盡可能多地展示學生探索的方法，拓展了學生的發散思維，使學生體會從不同角度解決問題的方法，另一方面又從各種方法中選出最有代表性的四種方法，參透點與平面圖形的位置關系，在四種方法中找出最簡單的方法，用這種簡單的方法去探索五邊形、六邊形、n邊形的內角和，提高了課堂的效率，從而為學生鞏固多邊形內角和公式提供了時間上的保障.基于以上考慮，最后確定采用方案4.

三、方案啟示

課后，筆者認真地對本環節進行了反思，從課后反饋來看，基本上達到了課前的預設，甚至有些“驚喜”，本環節的成功，得益于以下幾方面的處理.

1.注重局部探究的有效性

在結論教學中，由于課堂的限時性，且必須完成相應的教學內容，無法花過多的時間，讓學生長時間體驗探究的過程，因此在進行局部探究時，要根據“探究”素材，在關鍵點上精心設問，以提高局部探究的時效性.本環節處理的成功，就是把著重點放在了四邊形內角和的探索上，雖然學生呈現了眾多的方法，但學生的這些思維過程往往是無序的、低層的，甚至是凌亂的，需要老師不斷地加以優化，加以提升，筆者正是把眾多的方法優化成一種方法，把四邊形轉化成三角形，學生自然可以類比四邊形的探究方法快速地確定出五邊形、六邊形、n邊形的內角和.

2.根據學生的實際情況合理地設置思維深度

設置問題時，一定要考慮學生的實際，當學生總體思維能力很強時，要盡可能設置開放性的問題，調動學生思考的積極性、主動性，最大程度地培養他們思維的廣闊性和創造性.如方案4中直接提出你有哪些幾何推理的方法來驗證四邊形的內角和是360°，一方面提醒學生從推理幾何的角度去驗證，起點高，另一方面又沒有任何梯度的設置，為訓練學生的發散思維提供了良機.而方案3由于起點低，重過程、重歸納，對于總體成績不好、思維能力一般的班級是個不錯的選擇.

3.相信孩子的能力，孩子會給你驚喜

對于方案4中的開放性問題，在預設時，由于是公開課，開始時擔心孩子會緊張，問題拋出后，會不會出現啟而不發的現象，會不會連最起碼的點在四邊形內部、邊上、外部這幾種情況都沒有探索出來呢？事實證明，孩子的潛力是無窮的，問題拋出后，學生積極思考、討論熱烈，一個個“驚喜”層出不窮，不光出現了課前筆者預設的各種分割方法，還出現了很多意想不到的方法，現從中選取四種典型方法予以展示.

圖19

圖20

圖21

由于本環節的成功，課后點評時，眾多老師肯定了筆者對本環節的處理，特級教師邱廣東也對本環節給予了很高的評價：“高老師這節課讓我看到了在一些公開課、優質課中久違的學生原生態的思維過程，可以說這是一種驚訝、驚喜，為什么在一些公開課中就看不到學生通過延長四邊形的兩邊構造三角形這種情況呢？在高老師這節課中不但出現了，而且還出現了這么多‘意外’，這些‘意外’的出現應該是高老師對于本環節高明處理的必然結果.”是呀，這種“意外”是我們一線教師孜孜不倦的追求，而“意外”的創造者是學生，只有他們的積極性提高了，思維打開了，他們才能在不經意間給你一個又一個的“驚喜”，本環節的成功不就是源于以生為本的方案嗎？如果我們在進行教學時，能時刻注意到這一點，這種“意外”可能就不是意外了.