2013年北京中考試題第25題的幾種解法及一點教學建議與反思

☉北京師范大學附屬中學 毛玉忠

2012年及2013年北京市中考試題最后一道都是具有“初高中銜接功能”的創新試題.從試題上看，具有從“新定義入手”來考查學生再學習的能力，試題設計體現層層誘導，從認識到再認識到應用的學習過程，這也給北京市的初中教學工作提出了更高的思考與要求，教學中是重視“題海”還是重視“數學概念”來提升學生認知過程的教學，同時對初高中教師互通教材的“大循環”教學提出了一些思考.下面試題的解法是筆者在多年高中數學教學的基礎上進行“初高中大循環”數學教學中的一些體會和想法.

一、試題的幾種解法

題目1（2013年北京市中考數學試題第25題）對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，如圖1，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關聯點.

圖1

（1）當⊙O的半徑為1時.

①在點D，E，F中，⊙O的關聯點是________；

②過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線l上的點P（m，n）是⊙O的關聯點，求m的取值范圍.

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，求這個圓的半徑r的取值范圍.

解析：（1）①點D在⊙O內，滿足；點E在圓外，向圓引切線，切線夾角恰好滿足；點F也在圓外，但不滿足，故答案是點D、E.

②方法1：當OP=2時，過點P向⊙O作兩條切線PA，PB（A，B為切點），則∠APB=60°，所以點P為⊙O的關聯點.

事實上，當0≤OP≤2時，點P是⊙O的關聯點；當OP＞2時，點P不是⊙O的關聯點.

如圖2，以O為圓心，OG為半徑作圓，設該圓與l的另一個交點為P1.

當點P在線段GP1上時，OP≤2，點P是⊙O的關聯點.

當點P在線段GP1的延長線或反向延長線上時，OP＞2，點P不是⊙O的關聯點.

連接OP1，可知△GOP1為等邊三角形.

圖2

圖3

方法2：若點P是⊙O的關聯點，過P向圓引切線PM，PN，切點分別為M，N，則有∠MPN≥∠APB=60°，連接OP，OM.

因為在Rt△PMO中，∠MPO≥30°，

因為G（0，2），所以OG=2，所以G是關聯點.

方法3：若點P是⊙O的關聯點，過P向圓引切線PM，PN，切點分別為M，N，則有∠MPN≥∠APB=60°，連接OP，OM.

化簡，得m（m-）≤0.

（2）方法1：設該圓圓心為C.

根據②可得，若點P是⊙C的關聯點，則0≤PC≤2r.

由題意，點E，F都是⊙C的關聯點，所以EC≤2r，FC≤2r，所以EC+FC≤4r.

又因為EC+FC≥EF（當點C在線段EF上時，等號成立），所以4r≥EF.

事實上，當點C是EF的中點時，對所有r≥1的⊙C，線段EF上的所有點都是⊙C的關聯點，綜上所述，r≥1.

方法2：根據題意，設所求⊙C的半徑為r，則⊙C內及圓上的點都是關聯點.

若P是圓外的點，作切線PM，PN，則∠MPN≥60°.

所以在Rt△PCM中，∠MPC≥30°.

故若點P是⊙C的關聯點，則CP≤2r.

因為線段EF上所有點都是⊙C的關聯點，則線段EF在以C為圓心、2r為半徑的圓及內部，所以只有EF為該圓直徑時，半徑最小.

因為EF=4，所以4r≥4，即r≥1.

方法3：設該圓圓心為C.

根據②可得，若點P是⊙C的關聯點，則PC≤2r.

由題意，點E，F都是⊙C的關聯點，所以EC≤2r，FC≤2r.

所以半徑取最小時點C在EF的垂直平分線上.

因為線段EF上所有點都是⊙C的關聯點，所以當r最小時，點C就是垂直平分線與EF的交點，即EF的中點為C.

因為EF=4，所以2rmin=2，即rmin=1，所以r≥1.

方法4：設該圓圓心為C.

根據②可得，若點P是⊙C的關聯點，則PC≤2r.

設圓心C（x，y），半徑為r，則CE≤2r，CF≤2r.

二、由試題看設計思路

本題考查學生對“新定義”的理解及圓與直線、平面直角坐標系等相關知識的掌握情況.

第一步：初步了解“新定義”.

通過對特殊點D、E、F的判斷，來理解“關聯點”，在判斷三個點是否是關聯點時，發現：

（1）圓內的點一定是“關聯點”；

（2）圓上的點一定是“關聯點”；

（3）圓外的點到圓心在一定距離范圍內的點是“關聯點”.

第二步：進一步理解“新定義”.

（1）圓內及圓上的點是圓的關聯點；

（2）當點P在圓外時，向圓作“切線”，切點分別為M、N時，發現“若圓上存在兩點A、B，使得∠APB=60°存在，必須滿足∠MPN≥60°；根據圓的切線的特點，若點P是最遠的“關聯點”，則OP=2，故“以O為原點，2為半徑的圓及內部都是關聯點”.

第三步：應用形成性的結論解決問題.

由于線段EF上的所有點都是圓的“關聯點”，故點E、F也是關聯點.

設圓心為C，半徑為r，則CE≤2r，CF≤2r，所以CE+CF≤4r.

又因為在平面內任意三點滿足CE+CF≥EF，所以4r≥EF，且點C在線段EF上時，這些圓滿足“線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點”的所求圓.

三、教學建議與反思

在初中數學教學中，此類題目是創新試題，單靠“題海”學生是得不到的，在教學中要注重“數學概念”的深度教學，如在《圓與直線》的教學中，讓學生完全理解直線與圓的相關概念（如位置關系的判斷、距離問題，弦長問題、切線夾角問題等概念）及直線上動點與圓上點連線產生的各類相關問題深入探究一些，那么這類試題學生自然就不難解決了.比如具有高中知識特征的有：

題目2：已知點P是直線l上的動點，過點P向圓作切線PM、PN，切點分別為M、N，連接CM、CN.

（1）求四邊形CMPN面積的最小值.

（2）求∠MPN的最大值.

（3）求∠MPN=α的點P橫坐標的取值范圍.

（4）設圓心C到直線l的距離為d.

①d與r滿足什么條件時，存在∠MPN=90°、60°？

②d與r滿足什么條件時，圓上存在到直線距離為2的點有1個？2個？3個？4個？

在設計問題時，取一些特殊的圓及特殊的直線，對于初中學生而言就可以解決了.