對2013年安徽省中考試卷第23題的試題特色分析及品味

☉江蘇省啟東市東海中學(xué) 顧曉東

我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”.

一、原題呈現(xiàn)

題目 （2013年安徽卷第23題）如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”，其中∠B=∠C.

（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫出一種示意圖即可）.

（3）在由不平行于BC的直線截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E，若EB=EC，請問當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）.

圖1

圖2

圖3

二、試題特色

本題是一道新定義的開放探究題，題目立意新穎，構(gòu)造精巧，設(shè)問梯度合理，入手較易，通過截等腰三角形的兩腰得“準(zhǔn)等腰梯形”，把觀察、操作、探究、證明融于一體，需要綜合運(yùn)用平行線、等腰三角形、相似三角形、全等三角形、角平分線等核心知識(shí)靈活地解決問題，有效考查了學(xué)生對核心知識(shí)的理解及學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)建模能力、深入探究能力，綜合性較強(qiáng)，有較好的區(qū)分度，較高的信度和效度.

1.重視基礎(chǔ)，體現(xiàn)能力

本題雖為壓軸題，但仍注重對基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查.第（1）問，通過過一點(diǎn)作平行線，考查學(xué)生作圖的基本技能，并為第（2）問的解決做好心理和知識(shí)鋪墊；第（2）問考查學(xué)生對三角形相似的判定這個(gè)核心知識(shí)的掌握情況，要解決的問題具體，注重基礎(chǔ)性；第（3）問通過改變點(diǎn)E的位置，探索∠ABC與∠DCB的數(shù)量關(guān)系，使問題更具開放性，富有探究價(jià)值.通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.尤其是第（3）問的后一小問，不呈現(xiàn)圖形，而讓學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形再寫出結(jié)論，更體現(xiàn)了本題對學(xué)生能力的考查.

2.關(guān)注過程，引領(lǐng)教學(xué)

本題不僅關(guān)注學(xué)習(xí)的結(jié)果，更關(guān)注教與學(xué)的過程，本題首先定義了一個(gè)教材中從未出現(xiàn)的新概念——準(zhǔn)等腰梯形，然后圍繞準(zhǔn)等腰梯形設(shè)計(jì)了三個(gè)問題，各問題層次分明，逐級遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考，變考試的過程為學(xué)習(xí)、研究的過程.學(xué)生在解決以上問題的過程中，可以表現(xiàn)出自己的作圖、觀察、證明、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)方面的能力，有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).從而促使教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中重視過程的教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生及時(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)和反思，積累解決問題的策略及經(jīng)驗(yàn)，不斷提升數(shù)學(xué)能力.本題出現(xiàn)的“等腰三角形、準(zhǔn)等腰梯形”的基本圖形，通過點(diǎn)的位置的變化引起圖形相應(yīng)的變化，從而探索相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中都經(jīng)常遇到，在教學(xué)中如何讓學(xué)生更好地理解基本圖形的教學(xué)功能？如何在平時(shí)的教學(xué)中立足課標(biāo)，夯實(shí)基礎(chǔ)，注重學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系？這些問題都會(huì)促使教師不斷地深入研究、思考，改進(jìn)教學(xué)方法，不斷提升自己的教學(xué)水平等.

3.探究選擇，突出思維

基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)題目的要求與你所用的知識(shí)或設(shè)想距離較遠(yuǎn)時(shí)，就涉及探究思路、方法的選擇問題，對于本題的第（3）問難度較高，探究思路的選擇至關(guān)重要，不仿可以采用如下探究環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：四邊形ABCD是否為“準(zhǔn)等腰梯形”，取決于什么條件？由BE=BC，可以得∠1=∠2（如圖4），若得∠ABC=∠DCB，還需哪兩個(gè)角相等.

圖4

環(huán)節(jié)2：若要得∠3=∠4，面臨選擇，嘗試發(fā)現(xiàn)∠3、∠4不能夠直接證明相等，條件不足，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，由條件AE、DE分別平分∠BAD與∠ADC，想到過點(diǎn)E向角的兩邊作垂線段，得EF=EH，通過△BEF≌△CEH，得∠3=∠4.

環(huán)節(jié)3：若點(diǎn)E不在四邊形ABCD的內(nèi)部，根據(jù)點(diǎn)與平面圖形的位置關(guān)系，點(diǎn)E與四邊形ABCD還存在怎樣的位置關(guān)系，相應(yīng)的圖形又會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？

環(huán)節(jié)4：∠1、∠2、∠3、∠4隨著點(diǎn)E位置的改變，大小發(fā)生變化，但它們之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然存在呢？剛才的證明思路、方法是否還可行呢？

上述探究環(huán)節(jié)凸顯學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)水平，也可實(shí)現(xiàn)新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的結(jié)累，本題中基本圖形的交融將解題思路隱藏，增大了題目的挑戰(zhàn)性，要靠學(xué)生的嘗試和調(diào)整解題策略向前推進(jìn).這種看似“山重水復(fù)”的情境設(shè)置，實(shí)則為“柳暗花明”的到來做足了鋪墊，學(xué)生將會(huì)體驗(yàn)到解決問題的妙趣橫生.

4.體現(xiàn)公平，尊重差異

本題以學(xué)生熟悉的三角形、四邊形為背景，通過文字語言的描述，圖形語言的說明給出了“準(zhǔn)等腰梯形”的概念，問題的調(diào)置由易到難，層層推進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣；第（1）問絕大部分學(xué)生都能解決，體現(xiàn)了試題的人文關(guān)懷，第（3）問具有開放性，具有很高的區(qū)分度，體現(xiàn)了中考試卷的選拔功能.

如果把本題當(dāng)作一杯茶來品嘗的話，那么品味到它的滋味是幽香撲鼻，醇厚爽口，回味無窮，當(dāng)我們頭品此題時(shí)，給人以“霧里看花，水中望月”感覺，但細(xì)細(xì)品味，又“似曾相似”，體現(xiàn)命題者的高超立意，感覺到的是香高；當(dāng)我們二品此題，理解此題在立意、導(dǎo)向、選拔等功能后，感覺到的是味濃；當(dāng)我們?nèi)贰⑺钠愤@道“大餐”時(shí)，認(rèn)真體會(huì)此題的豐富內(nèi)涵，去進(jìn)一步探究、拓展時(shí)，感覺到的則是幽香猶存.