幾何畫板：“折線上的動點”制作方法

☉江蘇省海安縣胡集初級中學 夏宏運

動態探究性試題是近幾年中考的熱點題型，這類試題往往以動點問題為載體，對學生的空間想象能力要求較高.在這類試題的教學中，完全依賴于教師抽象的描述和學生的想象往往難以達到理想的教學效果.如果教學中能夠利用幾何畫板進行動態演示的話，可以將抽象問題變得直觀而形象，在降低問題的抽象度的同時，有利于學生分解運動過程，在直觀與抽象的反復對比中提高空間想象能力.

在教研活動中，筆者發現很多老師在制作“折線上的動點”時存在困難.筆者在此以一道中考題的具體情境為例，談一談此類課件的制作方法，希望能對大家有所幫助.

例題 （2010年湖北咸寧）如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6.動點M以每秒1個單位長度的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C-D-A向點A運動.當點M到達點B時，兩點同時停止運動.過點M作直線l∥AD，與線段CD的交點為E，與折線A-C-B的交點為Q.點M運動的時間為t（秒）.

圖1

（1）當t=0.5時，求線段QM的長.

（2）當0＜t＜2時，如果以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，求t的值.

（3）當t＞2時，連接PQ交線段AC于點R，請探究CQ RQ是否為定值.若是，試求這個定值；若不是，請說明理由.

一、制作分析

本題是一個典型的動態探究性試題.題中M點與P點同時同速運動，教學中教師往往希望演示課件能實現M點任意位置的情景呈現.這時，可以將M點作為一個可拖動的動點.當然，在拖動M點時，P點的位置也應當具有相應的變化.也就是說，我們就可以將M點當作“主動點”，P點作為它的“從動點”在折線C—D—A上運動.一旦兩個動點設置完成，本題的其他點與線的構造就不存在難度了.因此，筆者在此重點介紹M點及其從動點P的制作過程.

二、具體制作

先按題中數據與數量關系制作直角梯形.因為梯形的各頂點固定不變，因此制作直角梯形時，僅以A作為原始對象（父對象），其余各頂點通過平移來獲得（即為A點的子對象）.

步驟1：選擇“點工具”，在平面內任意構造一點A，選中，用“變換”菜單下的“平移”工具將A點向上平移4cm得到D點；向右“平移”6cm得到B點；選中D點，向右“平移”2cm得到C點.

步驟2：依次選中上述四個點，用“構造”菜單下的“線段”工具構造線段AD、AB、BC、CD，這時，直角梯形完成.

步驟3：選中線段AB，用“構造”菜單下的“線段上的點”的工具構造線段AB上的一個點M.這樣，鼠標選中并按住點M是可以在線段AB上實現隨意拖動的.“主動點”設置完成.

步驟 4：選中M點與A點，“構造”線段AM，選中線段AM，用“度量”菜單下的“長度”度量工具，度量線段AM的長度備用，如圖2.

圖2

說明：構造并度量線段AM的長度是為“從動點”P的運動提供運動參數.

接下來，就是在折線C-D-A上設置“從動點”P了.由題意可知，P點在折線上離開C點的速度與M點的速度相同，而題中的折線C-D-A的長度等于線段AB的長，這說明，當M點從A點運動到B點時，P點應當恰好沿折線到達A點.

步驟5：選擇“多邊形工具”，依次點取C、D、A點和梯形內任意一點T，收于C點.這樣，就構造了四邊形CDAT（如圖3）.

說明：在幾何畫板中，直角梯形中的折線C-D-A是兩條線段，無法實現一個點在折線上連續運動.然而，用“多邊形工具”制作的四邊形CDAT可以通過“構造”“邊界上的點”的方法構造一個可以在邊界上連續運動的點.也就是說，我們最終是將折線轉化為多邊形的“邊界”.

圖3

圖4

步驟7：在四邊形CDAT內部任意位置點擊鼠標以選中四邊形，然后選擇“繪圖”菜單下的“在四邊形上繪制點”工具，在其中點參數欄中選擇第6步中計算的值（如圖5）.

圖5

圖6

這時，我們可以發現在四邊形的邊界上出現了一個點，這個點的位置會隨著M點的位置變化而變化，它就是我們所需要的P點（如圖6）.

說明：在第6步中，我們計算0.5×AM/6cm，其中AM/6cm是線段AM長度與線段AB長度的比值.第7步中，“在四邊形上繪制點”工具，是在選中的四邊形的邊界上，按給定的“點值”繪點.需要進一步說明的是，在幾何畫板中，四邊形上的“點值”是將四邊形整個周長作為單位1，然后從起始點開始按四邊形構造順序計量而得.比如，圖5中我們的“點值”為0.25，那么，繪制的點就會在四邊形CDAT周長上的四分之一處（按C-D-A-T的順序）.顯然，隨著M點位置的移動，“點值”會變化，那么生成的P點在四邊形邊界上的位置必定也會隨之變化.由題意知，我們不需要這個P點從C點出發繞四邊形CDAT一周回到C點，我們只需它在M點的控制下從C點運動到A點即可，所以，我們在AM/6cm這個比值的基礎上乘以0.5.這樣，當M點被我們拖動到B點時，這個P點也只能到達四邊形周長的一半處（不一定是A點處）.

步驟8：選中D點和T點，選擇“編輯”菜單下的“合并點”工具，這時，圖6中的D點與T點合并到了一起，到此，動點與從動點全部構造完成.

說明：第8步合并D和T，實質上是讓四邊形變成了兩條重合的折線.這樣，不管之前構造四邊形是什么形狀（A點的“點值”可能不是0.5），但是D、T兩點合并之后A點的位置一定是周長的一半（即“點值”為0.5）；除此以外，第8步帶來的另一個好處是，原先的那個四邊形不可見了（其實還是存在的）.

這時，我們拖動AB上的M點，會發現，在折線CD-A上有一個P點跟隨它運動.并且，當M點處于A點時，P點位于C點，當M點被拖動到B點時，P點也沿折線運動到了A點.（圖7）

圖7

本例中接下來的構圖工作相對簡單，讀者可自行完成，在此不再贅述.