巧構正方形妙解數學題

重慶 丁學明

記得數學家華羅庚說過：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，這就充分說明了數形結合解決問題的重要性。數形結合，是一種重要的解題策略，它形象直觀，能化難為易。現舉幾例構造正方形解題。

圖1

圖2

這樣，長方形長與寬的差就是小正方形的邊長，為1。原題就變為：兩數和為2，兩數差為1，求兩數。由和差關系：

大數=（2+1）÷2=1.5

小數=（2 － 1）÷2=0.5。

例3用1～10這十個自然數組成5個乘法算式，并使它們的和為169。

分析與解：5個乘法算式的和為169，可以理解為5個長方形面積的和為169。又因為169=13×13，所以其和169可以看成為邊長是13的正方形面積，從而可以構造如圖4所示的正方形。不難看出，符合要求的答案是：1×2+3×7+4×6+5×10+8×9。

例4有一個長方形，長是寬的4倍，且對角線的長度是17厘米。求這個長方形的面積。

分析與解：構造如圖5所示的正方形。長方形 ABCD 包含4×1個方格。在其內部作出以BD為邊長的正方形BDGH。容易求出BDGH的面積為17×17=289（平方厘米）。又因為正方形BDGH內部有9個方格和4個三角形BCD。兩個三角形BCD可以拼成4個方格，4個三角形就可以拼成8個方格。因此，正方形BCGH共由9+8=17個方格組成。每個方格的面積是289÷17=17（平方厘米）。而長方形ABCD是由4個方格組成，所以它的面積是17×4=68（平方厘米）。

例5 已知甲數比乙數大2，甲數的平方比乙數的平方大44，求甲、乙兩數。

分析與解：構造如圖6所示的正方形。甲數表示大正方形的邊長，乙數表示小正方形的邊長。兩個數的平方分別表示兩個正方形的面積。從圖6中可以看出兩個長方形②和一個正方形③的面積為44，這樣一個長方形②的面積為（44－2×2）÷2=20，則長方形②的邊長為20÷2=10，即乙數是 10，甲數是 10+2=12。