利用幾何畫板分析平面幾何中的折疊問題

李鳳娟

摘 要：圖形折疊問題的解決在平面幾何研究中獨具一格，它深入淺出，涵蓋了圖形變換、數形結合等重要的思想與方法.就圖形折疊所具備的對稱性展開，對其所涉及的知識要點和研究方法進行了逐一剖析與探討.學生要經歷由數到形的突變，往往會感到不適應，利用幾何畫板可以幫助學生有更直觀的感受，進而幫助解題.以2005年廣東高考最后一題為例，以兩種解法利用幾何畫板分析折痕在不同位置所形成的函數的分段討論，使學生的思路更為清晰，其中第二種方法以直線l在y軸上的截距b為參數進行討論，幾何意義更明確.此外還可以直接利用幾何畫板中的“度量”工具度量折痕的長度，使學生先對長度的最值有一個直觀的認識以后，再尋找嚴謹的代數解法，從而降低了試題的難度，更益于學生的理解和接受.

關鍵詞：幾何畫板；折疊問題；平面幾何

折疊問題是解析幾何中常見的問題之一，利用幾何畫板可以對折疊所形成的對稱關系進行分析與探索.

類型一：已知點A與直線l，若以l為折痕，求折疊后A的位置A′，利用直線l與線段AA′的垂直平分關系可得如下作法：

1.過點A作直線l的垂線，交l與點C.

2.以C點為圓心，AC長為半徑作圓，

交垂線于一點A′，則A′即為所要求的點A折后的位置.

其中第二步也可由標記點C為中心，對點A進行旋轉完成.

運動點A或直線l皆可觀察點A′的位置變化.

類型二：已知點A關于直線l折疊后所對應的點為A′，此時確定折痕所在直線l的位置只需作線段AA′的垂直平分線即可。（圖略）

下面以2005年廣東高考最后一題說明這個問題，題目如下：

在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖5所示）.將矩形折疊，使A點落在線段DC上.

（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；

（Ⅱ）求折痕的長的最大值.

利用幾何畫板可以幫助學生更好地理解此題的不同解法.

解法一：設折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，1），則該問題轉化為如何由點A、G尋找折痕l的位置。

解題關鍵應為A、G關于l對稱，具體如下：

第一步：構造線段DC上的G，并做線段AG的垂直平分線l，則l即為折痕所在的直線.

第二步：做關于G點的動畫，觀察折痕的位置.

易得到以下結論：

（1）由圖1、圖2、圖3可知，折痕的長度會因l的位置不同而有三種不同的求法.

（2）當l過點D、B為分界點（圖略）.

（3）當點G與D點重合時如圖4.

（4）當點G與C點重合時，折痕為對角線BD（圖略）.

解法如下：

解（I）（1）當k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程y= .

（2）當k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，1）.

所以，A與G關于折痕所在的直線對稱.

有kOG·k=-1， k=-1？圯a=-k

故G點坐標為G（-k，1）

從而折痕所在的直線l與OG的交點坐標（線段OG的中點）為- ，

折痕所在的直線方程y- =k（x+ ），即y=kx+ + .

由（1）（2）得折痕所在的直線l方程為：y=kx+ + .

解（II）若折痕所在的直線過點D（0，1）則k=-1；若折痕所在的直線過點B（2，0）則k=-2+ ；若點G與點D（0，1）重合，則k=0；若點G與C點重合，則k=-2.

（1）當-2+ ≤k≤0時（如圖3），直線l交BC于N（2，2k+ + ）.

y=MN2=22+ -（2k+ + ）2=4+4k2≤4+4（7-4 ）=32-16 .

（2）當-1≤k≤-2+ 時（如圖2），

y=MN2=（ ）2+（- ）2=

y′=

令y′=0，解得k=- ，此時y=MN2= .

（3）當-2≤k≤-1時（如圖1），直線交DC于M（ - ，1）.

y=MN2=12+ -（2k+ + ）2=1+ ≤1+1=2.

所以，折痕的長度的最大值為：MNmax= =2（

- ）.

解法二：若設折痕所在直線l的方程為y=kx+b，則l與y軸的交點為P（0，b），該題解題關鍵轉化為利用AP=PG確定G點與折痕位置的問題.具體解法如下：

第三步：運動點P，可以得到三類不同的折痕圖形，以l過點D、B為分界點（圖略）.

解題過程如下：

I（1）由題知當b=0.5時，k=0，折痕所在的直線方程為y=0.5.

（2）當0.5

因為G為⊙P與DC的交點，易得G（ ，1）.

由A與G關于折痕所在的直線對稱，

有kOG·k=-1，得k=- .

所以折痕所在的直線方程y=kx+b，即y=kx+ + .

由（1）（2）得折痕所在的直線l方程為：

y=kx+ + .

II.k≠0時直線l在x軸上截距為- ，

當直線l過點B時0=2k+b，解得b=4-2 .

當直線l過點D時b=0.

（1）0.5≤b≤4-2 時（如圖3（3））.

直線l交BC于點N（2，2k+b）；

PN2=22+[b-（k+b）]2=8b≤8（4-2 ）；

（2）4-2

直線l交AB于點N（- ，0）；

y=PN2=b2+（- ）2= ；

y′= ，若y′=0則b= ；

此時y=PN2= .

（3）當1≤b≤2.5時（如圖3（2））；

直線l交AB于點N（- ，0）；

直線l交DC于點M（ ，1）；

NM2=（- - ）2+1=- +1≤2；

所以折痕的長度的最大值為：

PNmax= =2（ - ）

這兩種解法利用幾何畫板分析折痕在不同位置所形成的函數的分段討論，使學生的思路更為清晰，其中第二種方法以直線l在y軸上的截距b為參數進行討論，幾何意義更明確.此外還可以直接利用幾何畫板中的“度量”工具度量折痕的長度，使學生先對長度的最值有一個直觀的認識后，再尋找嚴謹的代數解法，從而降低了試題的難度，更益于學生的理解和接受.

我們還可以組織學生開展一次探討活動：利用前面所學知識，根據需要，選擇不同的圖形，結合不同的折疊方式，通過改變圖形在直角坐標系中的位置，進行編題解答、演算推導.通過集思廣益，發現問題并解決問題，從中體會自主學習的樂趣，提高自主學習的能力.

總而言之，折疊問題的解決，必須基于對折疊方法、折疊圖形的特性的了解.我們在折疊時主要是按照“點重合”或“線重合”的要求來進行操作，通過變換重合的方式或折疊的角度來改變折疊的效果；折疊后最基本的特性是“全等”和“垂直”；折疊中最常添設的輔助線是“對稱點的連線”.

另一方面，折疊的對象又不只局限于矩形、圓、正多邊形等簡單、規則的圖形；折疊的次數也不僅限于一次，可以是多次的.它在變化中存在許多不定因素，但在解答時常伴隨有三角形、四邊形及全等形、相似形等基礎知識.它需要我們靈活運用數形結合、方程、化歸等數學思想方法……所有這些，我們在研究過程中都應予以充分考慮.圖形的折疊問題將為我們留下無限的遐想、發展空間.

參考文獻：

湯瑩琪.運用《幾何畫板》研究三角形的重心.數學教學.華東師范大學，2004（7）.

（作者單位 浙江省溫州中學）