拓撲平帶上的分數量子反常霍爾效應(一)*

王一飛，龔昌德，2

(1.浙江師范大學海峽兩岸統計物理與凝聚態理論研究中心，浙江金華 321004;2.南京大學固體微結構國家重點實驗室，江蘇南京 210093)

本文是該綜述介紹的第1部分，主要內容為:領域概況;模型哈密頓量與拓撲平帶;玻色子分數量子反常霍爾效應;非阿貝爾型量子反常霍爾效應.

1 領域概況

量子霍爾效應(QHE)是凝聚態物理中的重要研究領域之一.1980年整數量子霍爾效應(IQHE)實驗［1］、1982年分數量子霍爾效應(FQHE)實驗［2］及1983年分數量子霍爾效應理論［3］都獲得過物理學諾貝爾獎.時至今日，量子霍爾效應，尤其是考慮強關聯效應的分數量子霍爾效應［3-8］，依然是凝聚態物理最前沿、最熱門的研究領域之一.迄今為止，只有在強磁場與極低溫下的二維電子氣(半導體異質結和最近的單層石墨烯)中觀測到該效應［2］.1983年，Laughlin［3］提出的波函數被認為是對這類朗道能級上連續型分數量子霍爾效應的最好理論描述.1988年，凝聚態物理領域領軍人物Haldane［9］提出了一個時間反演對稱破缺的晶格模型.Haldane模型定義在二維蜂窩(honeycomb)晶格中，其兩支能帶具有拓撲性質，當低能帶被電子整數完全填充、高能帶完全未占據時，得到晶格型的、無朗道能級的整數量子霍爾態.該量子反常霍爾(quantum anomalous Hall，簡稱QAH)態由非零的陳數(Chern number)［10］C=±1來標記，而常規的絕緣態的陳數C=0.這些態之間的相變是典型的拓撲量子相變.Haldane模型作為拓撲絕緣體的原始能帶模型，其應用已經拓展到量子自旋霍爾效應、單層石墨烯、三維拓撲絕緣體、量子自旋液體、光晶格人工規范場、光子晶體單向波導等多個前沿領域.最近在國際凝聚態物理學界引起了極大關注，拓撲能帶中的強關聯效應更是成了備受關注的重要問題，可以期待無朗道能級的分數量子霍爾效應.但由于Haldane模型中能譜的高度色散，引入粒子間相互作用并使粒子分數填充能帶后，并沒有相應的分數量子霍爾效應.

最近，通過對拓撲平帶［11-13］上強關聯相互作用的費米子和玻色子晶格體系的系統數值進行研究，包括筆者在內的幾個研究組共同發現了一類新奇的阿貝爾型分數量子霍爾效應［14-16］和非阿貝爾型量子霍爾效應［17-19］.拓撲平帶模型［11-13］屬于Haldane模型的擴展版本，至少有一個能帶具有非平庸的拓撲性質，即有非零的陳數(Chern number)C=1;而且該能帶的帶寬很窄，且與其他能帶間有較大能隙.新發現的分數量子霍爾效應［14-19］不同于傳統朗道能級上的連續型分數量子霍爾效應，無須均勻強磁場，有較大特征能隙，可在較高溫度下存在，不能用常規Laughlin波函數描述［14-23］.在環面形結構上，該分數量子霍爾態有奇數或偶數個準簡并的基態.這些基態與高能激發態之間有較大的能隙.其中我們發現的玻色子體系晶格型的分數量子霍爾效應［15，17］，不同于常規電子的費米子體系，可以看作等效自旋模型中的手征自旋態.該手征自旋態的概念于1987年、1989年分別被文獻［24］與文獻［25］提出，但是長期以來沒有現實的模型來實現.最近的研究給出了該手征自旋態存在于拓撲平帶模型中的數值證據.拓撲平帶上的非阿貝爾型量子霍爾效應［17-19］與著名的Moore-Read態［7］有類似的拓撲性質.該效應相比于阿貝爾型分數量子霍爾效應，有更加奇特的性質，比如基態的異常拓撲簡并度以及異常分數統計，有可能應用于未來的拓撲量子計算.這些研究工作也為在冷原子光晶格體系中觀測非阿貝爾型量子霍爾效應和分數統計提供了新的途徑.這些無朗道能級的分數化現象，定義了一類新的分數拓撲相，或稱為分數陳絕緣體(fractional Chern insulator，簡稱FCI)，其中的分數量子霍爾效應也稱為分數量子反常霍爾(fractional quantum anomalous Hall，簡稱 FQAH)效應.

該領域在近期引起了國際凝聚態物理學界的研究熱情與廣泛關注.一些新的研究手段，例如基于Wannier表象的模型波函數和贗勢法［20-21］、投影密度算符代數［22-23］、部分子(parton)波函數構造［26-27］等方法被快速發展起來，以進一步理解這些分數量子反常霍爾態(FCI/FQAH).多個研究組提出了其他的拓撲平帶模型以及材料實現方案［28-39］.最近的系統數值研究又發現了高陳數(C≥2)拓撲平帶上的分數量子反常霍爾態［40-42］(這些FCI/FQAH態沒有朗道能級上的直接對應).

2 模型哈密頓量與拓撲平帶

圖1所示為2個典型拓撲平帶模型，箭頭表示次近鄰或最近鄰跳躍積分中相位±φ的符號.對于棋盤格子，沿實線(短虛線)的次近鄰跳躍積分為t'，次次近鄰跳躍積分由長虛線表示.

圖1 典型拓撲平帶模型

蜂窩(HC)格子上填充相互左右硬核玻色子的Haldane模型為

另一個模型類似于Haldane模型，定義在棋盤(checkerboard，簡稱CB)格子上［12］:

在數值嚴格對角化(ED)研究中，考慮有N1×N2個元胞的有限格子(格點總數為NS=2×N1×N2)，格子基矢如圖1所示.采用周期性邊界條件(PBC)，利用晶格的平移對稱性，Hilbert空間尺寸大約縮小為原來的1/(N1N2).記玻色子數為Nb，拓撲平帶上的填充數為υ=Nb/(N1N2)，|t|作為能量單位.

拓撲平帶模型［11-13］屬于Haldane模型的擴展版本，至少有一個能帶具有非平庸的拓撲性質，即有非零的陳數(Chern number)C=1;而且該能帶的帶寬很窄，且與其他能帶間有較大能隙.對于蜂窩格子Haldane模型，如果只允許最近鄰和次近鄰跳躍積分，平坦率(flatness ratio)至多只有7［13］;如果允許次次近鄰跳躍積分，則可以通過在參數空間的數值搜索，發現一大類具有非零陳數的拓撲平帶.例如平坦率為50 的拓撲平帶的參數如下［15］:t=1，t'=0.60，t″=-0.58，φ =0.4π .對于棋盤格子，可以得到平坦率為30的拓撲平帶［12］，采用參數如

圖2為蜂窩格子Haldane模型的典型拓撲平帶［15］，分別用細線與粗線表示圓柱幾何結構上能帶的體態與邊界態.

圖2 蜂窩格子Haldane模型的典型拓撲平帶［15］

3 玻色子分數量子反常霍爾效應

我們研究了拓撲平帶上強關聯相互作用的玻色子體系［15］，并發現了一類新奇的晶格型的FQHE:1/2玻色型FQHE、1/4玻色型FQHE.圖3為1/2玻色子填充的量子相圖［15］，FQHE、SF、SS1/SS2分別表示分數量子反常霍爾態、超流相、超固體相.該類效應不同于傳統朗道能級上的連續型FQHE，無須均勻強磁場，有較大特征能隙，可在較高溫度下存在，不能用常規Laughlin波函數描述.基于對著名的Haldane模型的擴展，提出一個典型的拓撲平帶模型［15］.在拓撲平帶模型中，考慮短程相互作用的硬核玻色子體系，通過大量數值計算和系統理論分析，發現了晶格型FQHE的有力證據.在環面形結構上，該分數量子反常霍爾態有偶數個準簡并的基態;這些準簡并基態共享一個量子化的陳數;這些基態與高能激發態之間有較大的能隙.同時文獻［15］給出了拓撲平帶上半滿填充的量子相圖，并闡明了從分數量子反常霍爾態到其他對稱破缺相的量子相變.該玻色子體系晶格型的FQHE，來源于硬核玻色子的強關聯效應(不同于常規電子或費米子體系中的庫侖相互作用)，可以看作等效自旋模型中的手征自旋態.該手征自旋態的概念于1987年、1989年分別被文獻［24］與文獻［25］提出，但是長期以來沒有現實的模型來實現.而筆者的研究將從另一方面給出該手征自旋態存在于拓撲平帶模型中的數值證據.

圖3 1/2玻色子填充的量子相圖［15］

1)υ=1/2填充的相圖.首先看一下2個24格點(2×4×3)的格子在υ=1/2填充的能隙，見圖3(a)和圖3(b).E1，E2，E3表示3個最低能量本征態.對于圖3(a)和圖3(b)的V1-V2參數空間中左下角的υ=1/2 FQHE相，有一個兩重準簡并的基態組(ground-state manifold，簡稱GSM).此基態組與較高本征態之間有較大能隙E3-E2?E2-E1.其他區域大致標出了可能的超流相(SF)，超固體相(SS1/SS2)以及固體相.我們也從較大的32(2×4×4)、36(2×6×3)、40(2×4×5)格點的格子上得到大量數值結果(關于FQHE部分結果見圖4)，驗證此相圖在定性上是大致正確的.

圖4 1/2-FQHE能隙隨格點數的變化［15］

2)最低能譜和能隙.動量矢量標記為q=(2πk1/N1，2πk2/N2)，其中(k1，k2)是整數量子數.定義準簡并的基態組為一組與高能激發態之間有較大穩定能隙的最低能量態.對于1/2分數量子反常霍爾效應，基態組中有2個準簡并的基態.如果(k1，k2)是基態組中1個基態的動量分區，那么另一個基態必定在動量分區(k1+Nb，k2+Nb［mod(N1，N2)］)中.對于 Ns=24，36，40 格點，υ =1/2 FCI/FQAH 相的 2 個準簡并基態在2個不同動量分區:對于Ns=24和Ns=40格子，準簡并基態在(0，0)，(2，0)分區;對于Ns=36格子，準簡并基態在(0，0)和(3，0)分區.而對于Ns=32格點，因為Nb/N1和Nb/N2都是整數，因此，2個準簡并的基態都在(0，0)動量分區.圖5為基態組拓撲演化與Berry曲率，圖5(a)和(b)為固定θ2=0，υ=1/2填充的蜂窩格子的最低能譜隨θ1的演化;圖5(c)為Ns=32格點蜂窩格子，10×10邊界相位網格上的 Berry曲率 F(θ1，θ2)Δθ1Δθ2/(2π).

圖5 基態組拓撲演化與Berry曲率

3)Berry曲率和多體陳數計算.在周期性邊界條件的2個方向引入邊界相位θ1和θ2，量子多體態的陳數［10］(相應的Berry相位2πC)由邊界相位空間的積分得到［43-44］:

對于Ns=24，36，40格子，準簡并基態組中的2個基態處于不同動量分區，當調節邊界相位時，2個基態相互演化并能級交叉，但與低能激發態之間一直保持較大的特征能隙，見圖5(a).而對于Ns=32格子，準簡并基態組中的2個基態都在(0，0)動量分區;當調節邊界相位時，每個基態演化到自身而避免了能級交叉，見圖5(b).對于2個基態處于不同動量分區的情形，數值計算發現每個基態幾乎精確貢獻了π的Berry相位，即總的陳數為C=1，見圖5(c)，平均每個基態有1/2的分數化陳數.而對于2個基態處于相同動量分區的情形，數值計算發現其中1個基態貢獻了2π的Berry相位，另一個貢獻的Berry相為零，而總的陳數也為C=1，平均每個基態分到1/2的分數化陳數.

4)υ=1/4分數量子反常霍爾態.對于棋盤格子，我們也發現了υ=1/4填充的分數量子反常霍爾態.與υ=1/2分數量子反常霍爾態不同，υ=1/4分數量子反常霍爾態需要有限大小的最近鄰或次近鄰相互作用V1或V2.筆者給出一些Ns=40格點的結果，見圖6(a)，每個基態組由4個準簡并基態組成.4個基態處于不同動量分區，當調節邊界相位時，4個基態相互演化并能級交叉，但與低能激發態之間一直保持較大的特征能隙，見圖6(b).對于4個基態處于不同動量分區的情形，數值計算發現每個基態幾乎精確貢獻了π/2的Berry相位，即總的陳數為C=1，平均每個基態分到1/4的分數化陳數.

圖6 棋盤格子上的υ=1/4分數量子反常霍爾態

4 非阿貝爾型量子反常霍爾效應

近期，對于具有拓撲平帶的擴展Haldane模型［15］，筆者研究了在其中填充強關聯相互作用的三體硬核玻色子(three-body hard-core boson)，發現了拓撲平帶上的非阿貝爾型(non-Abelian)量子霍爾效應［17］.該晶格型的非阿貝爾量子霍爾效應有著特征的三重基態拓撲簡并度、量子化的陳數、較大的特征能隙、特征的準空穴激發譜、拓撲簡并度的粒子數奇偶效應.筆者發現的玻色子非阿貝爾量子霍爾效應與朗道能級5/2填充的Moore-Read態［7-8］有類似的拓撲性質.相比而言，二維電子氣中的費米型的Moore-Read態的圖像至今還沒有完全確立，數值計算和理論分析之間仍有一些分歧和爭議.筆者的精確數值結果預言了玻色子非阿貝爾量子霍爾態存在于拓撲平帶中，而且給出了其拓撲簡并度、拓撲穩定性和分數統計的關鍵確鑿證據.該效應相比于阿貝爾型FQHE有更加奇特的性質，比如基態的異常拓撲簡并度及異常分數統計，有可能應用于未來的拓撲量子計算.本研究工作為在冷原子光晶格體系中觀測非阿貝爾型量子霍爾效應和分數統計提供了新的途徑.鑒于玻色自由度到自旋自由度的映射，這個發現也給出了一種新型非阿貝爾手征自旋態的令人信服的證據.

1)三體硬核玻色子模型.筆者研究相互作用玻色子的拓撲平帶Haldane模型［9，15］:

2)U-V參數空間相圖.首先看一下Ns=20格點數的格子在υ=1填充的能隙圖，如圖7所示，此處E1，E2，E3，E4表示最低的4 個能量本征值.從3 個能隙(E4-E3，E2-E1，E3-E2)圖中可以獲得相當豐富的關于可能量子態和相圖的信息.對于υ=1非阿貝爾量子反常霍爾態(NA-QHE)，2個必要條件為:有1個3重準簡并的基態組(GSM)(E3-E1～0)，而且與高能量本征態間有一個較大的能隙E4-E3?E3-E1.由圖7可以看出，這2個條件在U-V空間的左下角區域同時滿足.右下角區域的特征是較大的E2-E1能隙，而較小E3-E2的能隙是一種可能的整數量子霍爾態(標記為QHE*，隨后將進一步討論).而對于上面的較大V的區域，能量差E2-E1幾乎消失，而出現了一個較大E3-E2的能隙，暗示著2重準簡并基態;這些特征和雙子格固體序一致;進而，調節邊界相位時，2個低能態演化到較高能譜，表明其在“固體”特征外的“金屬”特征，我們稱該相為超固體相(SS).對于較大的Ns=24格子，我們也得到了較一致的結果.

圖7 U-V參數空間的能隙圖

3)最低能譜和能隙.筆者在Ns=20，24，28的格子中都觀測到非阿貝爾量子反常霍爾態的三重準簡并基態組，而且特征能隙E4-E3都比較大.對于我們研究的3個尺寸，3重準簡并基態組中有2個(能量非常接近)基態處于(k1，k2)=(0，0)動量分區.對于格點數為Ns=28的格子，用動量劃分的Hilbert子空間大小約為7×108(基本上是目前ED方法的極限)，具體見圖8.

4)Berry曲率和多體陳數.對于非阿貝爾量子反常霍爾相，以Ns=24為例，當調節邊界相位角時，3個準簡并基態保持準簡并特征并與其他低能激發能譜間保持較大特征能隙，表明該相的拓撲穩定性，見圖9(a).而且，非阿貝爾量子反常霍爾相的三重準簡并基態組共享一個陳數C=3.例如，對于Ns=20的格子，有2個基態在(0，0)動量分區，貢獻了4π的Berry相位，見圖10(a);另一個處于(1，0)動量分區的基態貢獻了2π的Berry相位，見圖10(b.因此，該三重準簡并基態組共享了C=3的陳數.對于可能的整數量子霍爾相QHE*，當調節邊界相位角時，其非簡并單重基態與其他低能激發保持較大特征能隙，見圖9(b)，Ns=20的格子情形(圖10(c))給出了量子化的陳數C=1.另一方面，對于超固體相，當調節邊界相位角時，初始基態組的兩重準簡并性立刻被破壞，2個基態演化到高能激發態中.由于沒有良好地定義拓撲穩定能隙，故該相沒有良好定義的陳數，表明其具有超固體相的“金屬”特性，見圖9(c).

圖8 NA-QHE相中最低能譜與能隙標度

圖9 最低能譜隨θ1的演化(固定θ2=0，格子Ns=24，填充數υ=1)

圖 10 邊界相位網格上的 Berry 曲率 F(θ1，θ2)Δθ1Δθ2/(2π)(Ns=20)

5)準空穴分數統計.為了探討非阿貝爾量子反常霍爾態中可能的分數統計，考慮從υ=1填充情形拿出一個玻色子來研究準空穴激發譜，期待形成2個攜帶1/2分數電荷的準空穴［7-8］.如圖11(a)所示，對于Ns=24格子的典型非阿貝爾量子反常霍爾態，準空穴譜顯示出清晰的能隙，將每個動量分區中的少數幾個低能態和高能激發譜分開.對于每個動量分區，通過調節邊界相位角，發現準空穴激發譜之上的特征能隙是拓撲穩定的，見圖11.將12個動量分區的準空穴激發態數目求和，得到總計72個準空穴態.類似地，對于Ns=20格子(玻色子數Nb=9)，每個動量分區有5個準空穴態，10個動量分區給出總計50個準空穴態.

圖11 NA-QHE相中的準空穴激發譜

圖12 單粒子軌道上的分布構型(root configuration)

非阿貝爾量子反常霍爾相中的準空穴態的計數可以由廣義Pauli不相容原理給出［16，45］.使用拓撲平帶的Wannier表象［20-21］，形成Norb=Ns/2個周期性的單粒子軌道.現在以Norb=12為例.2個連續的軌道中玻色子占據數不超過2個，廣義Pauli不相容原理［16，45］給出如下3個基態分布構型|nλ1，nλ2，…，(c).現在來計數有多少種方式從3個基態構型(02)，(20)，(11)中取出1個玻色子?雙準空穴態的玻色子占據構型應當是2個基態構型的混合，形成2個疇壁，每個疇壁表示1/2的分數電荷［45］.簡單的分析，給出了6類有奇數個1的構型以及|0|，見圖12(d)～(f)，其中2個疇壁(準空穴)由2條豎線|表示.考慮上述6個構型的12次平移，最終得到總計72(一般而言為/2)個雙準空穴態，該計數和數值計算結果完全吻合.

本文是該綜述介紹的第1部分.第2部分(待續)的主要內容為:C=2拓撲平帶上的分數量子反常霍爾效應，分數量子反常霍爾態中的邊緣激發，總結和展望.

［1］Klitzing K V，Dorda G，Pepper M.New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance［J］.Phys Rev Lett，1980，45(6):494-497.

［2］Tsui D C，Stormer H L，Gossard A C.Two-dimensional magnetotransport in the extreme quantum limi［J］.Phys Rev Lett，1982，48(22):1559-1562.

［3］Laughlin R B.Anomalous quantum Hall effect:an incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations［J］.Phys Rev Lett，1983，50(18):1395-1398.

［4］Haldane F D M.Fractional quantization of the Hall effect:A hierarchy of incompressible quantum fluid states［J］.Phys Rev Lett，1983，51(7):605-608.

［5］Halperin B I.Statistics of quasiparticles and the hierarchy of fractional quantized Hall states［J］.Phys Rev Lett，1984，52(18):1583-1586.

［6］Jain J K.Composite-fermion approach for the fractional quantum Hall effect［J］.Phys Rev Lett，1989，63(2):199-202.

［7］Moore G，Read N.Nonabelions in the fractional quantum Hall effect［J］.Nucl Phys B，1991，360(91):362-396.

［8］Greiter M，Wen X G，Wilczek F.Paired Hall states［J］.Nucl Phys B，1992，374(3):567-614.

［9］Haldane F D M.Model for a quantum Hall effect without Landau levels:condensed-matter realization of the"parity anomaly"［J］.Phys Rev Lett，1988，61(18):2015-2018.

［10］Thouless D J，Kohmoto M，Nightingale M P，et al.Quantized Hall conductance in a two-dimensional periodic potential［J］.Phys Rev Lett，1982，49(6):405-408.

［11］Tang E，Mei Jiawei，Wen Xiaogang.High-temperature fractional quantum Hall states［J］.Phys Rev Lett，2011，106(23):236802.

［12］Sun Kai，Gu Zhengcheng，Katsura H，et al.Nearly flatbands with nontrivial topology［J］.Phys Rev Lett，2011，106(23):236803.

［13］Neupert T，Santos L，Chamon C，et al.Fractional quantum Hall states at zero magnetic field［J］.Phys Rev Lett，2011，106(23):23804.

［14］Sheng D N，Gu Zhengcheng，Sun Kai，et al.Fractional quantum Hall effect in the absence of Landau levels［J］.Nature Commun，2011，2:389.

［15］Wang Yifei，Gu Zhengcheng，Gong Changde，et al.Fractional quantum Hall effect of hard-core bosons in topological flat bands［J］.Phys Rev Lett，2011，107(14):146803.

［16］Regnault N，Bernevig B A.Fractional Chern insulator［J］.Phys Rev X，2011，1(2):021014.

［17］Wang Yifei，Yao Hong，Gu Zhengcheng，et al.Non-Abelian quantum Hall effect in topological flat bands［J］.Phys Rev Lett，2012，108(12):126805.

［18］Bernevig B A，Regnault N.Emergent many-body translational symmetries of Abelian and non-Abelian fractionally filled topological insulators［J］.Phys Rev B，2012，85(7):075128.

［19］Wu Yangle，Bernevig B A，Regnault N.Zoology of fractional Chern insulators［J］.Phys Rev B，2012，85(7):075116.

［20］Qi Xiaoliang.Generic wavefunction description of fractional quantum anomalous Hall states and fractional topological insulators［J］.Phys Rev Lett，2011，107(12):126803.

［21］Barkeshli M，Qi Xiaoliang.Topological nematic states and non-Abelian lattice dislocations［J］.Phys Rev X，2012，2(3):031013.

［22］Parameswaran S A，Roy R，Sondhi S L.Fractional Chern insulators and the W-infinity algebra［J］.Phys Rev B，2012，85(24):241308;

［23］Goerbig M O.From fractional Chern insulators to a fractional quantum spin Hall effect［J］.Eur Phys J B，2012，85:15-22.

［24］Kalmeyer V，Laughlin R B.Equivalence of the resonating-valence-bond and fractional quantum Hall states［J］.Phys Rev Lett，1987，59(18):2095-2098.

［25］Wen Xiaogang，Wilczek F，Zee A.Chiral spin states and superconductivity［J］.Phys Rev B，1989，39(16):11413.

［26］Lu Yuanming，Ran Ying.Symmetry-protected fractional Chern insulators and fractional topological insulators［J］.Phys Rev B，2012，85(16):165134.

［27］McGreevy J，Swingle B，Tran K A.Wave functions for fractional Chern insulators［J］.Phys Rev B，2012，85(12):125105.

［28］Hu Xiang，Kargarian M，Fiete G A.Topological insulators and fractional quantum Hall effect on the ruby lattice［J］.Phys Rev B，2011，84(15):155116.

［29］Xiao Di，Zhu Wengguang，Ran Ying，et al.Interface engineering of quantum Hall effects in digital transition metal oxide heterostructures［J］.Nature Commun，2011，2:596.

［30］Venderbos J W F，Daghofer M，van den Brink J.Narrowing of topological bands due to electronic orbital degrees of freedom［J］.Phys Rev Lett，2011，107(11):116401.

［31］Ghaemi P，Cayssol J，Sheng D N，et al.Fractional topological phases and broken time-reversal symmetry in strained graph ene［J］.Phys Rev Lett，2012，108(26):266801.

［32］Wang Fa，Ran Ying.Nearly flat band with Chern number C=2 on the dice lattice［J］.Phys Rev B，2011，84(24):241103.

［33］Liu Ru，Chen Wenchao，Wang Yifei，et al.Topological quantum phase transitions and topological flat bands on the kagome lattice［J］.J Phys Condens Matter，2012，24(30):305602.

［34］Chen Wenchao，Liu Ru，Wang Yifei，et al.Topological quantum phase transitions and topological flat bands on the star lattice［J］.Phys Rev B，2012，86(8):085311.

［35］Trescher M，Bergholtz E J.Flat bands with higher Chern number［J］.Phys Rev B，2012，86(24):241111.

［36］Yang Shuo，Gu Zhengcheng，Sun Kai，et al.Topological flat band models with arbitrary Chern numbers［J］.Phys Rev B，2012，86(24):241112.

［37］Yao N Y，Laumann C R，Gorshkov A V，et al.Topological flat bands from dipolar spin systems［J］.Phys Rev Lett，2012，109(26):266804.

［38］Liu Zheng，Wang Zhengfei，Mei Jiawei，et al.Flat Chern band in a two-dimensional organometallic framework［J］.Phys Rev Lett，2012，11(10):106804.

［39］Liu Xiaoping，Chen Wenchao，Wang Yifei，et al.Topological quantum phase transitions on the kagome and square-octagon lattices［J］.J Phys Condens Matter，2013，25(30):305602.

［40］Wang Yifei，Yao Hong，Gong Changde，et al.Fractional quantum Hall effect in topological flat bands with Chern number two［J］.Phys Rev B，2012，86(20):201101.

［41］Liu Zhao，Bergholtz E J，Fan Heng，et al.Fractional Chern insulators in topological flat bands with higher Chern number［J］.Phys Rev Lett，2012，109(18):186805.

［42］Sterdyniak A，Repellin C，Bernevig B A，et al.Series of abelian and non-abelian states in C ＞1 fractional Chern insulators［J］.Phys Rev B，2013，87(20):205137.

［43］Niu Qian，Thouless D J，Wu Yongshi.Quantized Hall conductance as a topological invariant［J］.Phys Rev B，1985，31(6):3372-3377.

［44］Sheng D N，Wan Xin，Rezayi E H，et al.Disorder-driven collapse of the mobility gap and transition to an insulator in the fractional quantum Hall effect［J］.Phys Rev Lett，2003，90(25):256802.

［45］Seidel A，Lee D H.Abelian and non-Abelian Hall liquids and charge-density wave:Quantum number fractionalization in one and two dimensions［J］.Phys Rev Lett，2006，97(5):056804.