數學分析中的矛盾問題研究

梁江波

（延安大學 西安創新學院理工系，陜西 西安 710100）

在數學分析中，對矛盾問題和對立理論的分析，既有助于人們對數學思維、理論構造以及思維方式的研究，而且有助于人們對數學史和評價標準的深入探討.因此，對數學分析中的矛盾問題研究的探討有其重要的科學價值和意義.

1 數學分析中存在的若干矛盾

數學分析(Mathematical Analysis)是數學專業的必修課程之一，基本內容是微積分，但是與微積分有很大的差別.數學分析的基礎是實數理論.實數系最重要的特征是連續性，有了實數的連續性，才能討論極限，連續，微分和積分.正是在討論函數的各種極限運算的合法性的過程中，人們逐漸建立起嚴密的數學分析理論體系.在這里主要針對數學分析中存在的若干矛盾進行簡單分析，大體有以下幾種情況：

1.1 整體與局部

在數學分析中，整體與局部是一對比較重要的矛盾關系.整體和局部的辨證關系原理原理內容：任何事物都有它的整體和局部.整體和局部二者既相互區別又相互聯系，整體處于統率的決定地位；局部也制約著整體，甚至在一定條件下關鍵部分的性能對整體起決定作用.因此，在分析與研究時，要求要樹立全局觀念，辦事情從整體著眼，尋求最優目標；又要搞好局部，使整體功能得到最大發揮.

微積分中局部與整體的矛盾關系

局部與整體的思想貫穿微積分的始終，該思想在微積分中有著深入的體現.微分和積分都就是用局部代替整體的思想，從而化曲為直，化變量為常量.微分是求商，積分是求積（和）.因此，要正確把握該思想，掌握局部與整體思想在現實生活中的重要意義，并且在實際研究中，根據明清河的《數學分析的思想與方法》（山東大學出版社，這本書對微積分的思想有很深的闡述）和克萊因著《古今數學思想》進行全面分析與總結，例如以下命題：

（4）f（x）的原函數為F（x），且F（x）是以T為周期的函數，則

這里主要講到的是微積分基本定理.

（3）根據函數導數運算性質，若F'（x）=1x，應有-F（x）=lnx+c-（c為常數），結論錯誤．

在處理這些問題時，正是運用了其整體與局部的矛盾關系，結合微積分基本定理，問題得到全面解決.

1.2 離散與連續

——離散與連續在數學分析中，是一對對立統一的關系.其中，最為明顯的就是級數與積分的轉換、數列與函數之間的相互轉換.在數學分析中，函數極限與數列極限是分別定義的，而實現這兩者之間的相互轉換的理論橋梁正是海涅定理.

在處理微積分的過程中，離散型的數據或者類型通常采用連續函數來描述，連續函數主要通過不連續的函數來近似處理，所以，它們在數學中，經常是成對出現的.收斂和極限存在是同一回事.可導必連續，連續比極限存在（收斂），收斂必局部有界.反之都未必.連續必有定義，有定義未必連續.有定義與極限，局部有界沒有任何關系.可積不同，是一個整體概念，不能談局部.可以這么說，可積則函數在整個定義域上有界，但有界未必可積.有界閉區間上的連續函數必可積，但可積不一定連續.

例如：如果一個隨機變量X所有可能取到的值是有限個或者是可列無限多個，并且以確定的概率取這些不同的值，成為離散型隨機變量例如X=1，2，3，……n如果對于隨機變量X的分布函數F（X)存在非負函數f(x)使得對于任意實數x有F(x)=∫f（t)dt,積分下限是負無窮，上限是x，則稱X為連續性隨機變量

1.3 常量與變量

在數學分析中，常量是靜止不動的，是不變的，而變量則是不斷變化的量，是運動著的，它們是一對對立的關系.根據相對理論分析，知道，所有的事物都是不斷運動的，所以，常量的靜止不動與不變是相對于變量而言的.變量通常情況下，要通過常量來體現，而常量又通常位于變量之中，因此，這兩者在一定的情況與條件下，是可以相互轉化的，從某種角度上講，這兩者之間又是一個統一體.也正是因為如此，在數學分極中，這種數學思想幫助人們解決了很多重要問題和理論問題.

1.4 有限與無限

在數學分析中，有限與無限這兩個概念是截然對立的，在實際處理中，無限中包含著有限，而無限又可以從中有限中找到，從這個角度來分析，充分體現了無限與有限的對立與統一.在學習微積分時，學生所接觸到的第一概念就是極限，也是一個非常重要的概念，但是在教學中，極限理論的學習一直都是一個研究的熱點和學習和難點問題，在學習中，一旦脫離兩者之間的辯證關系，只是從純數學的角度去分析，這樣會給學生學習造成很大的困難，而且也不利于對微積分問題的分析與研究.

另外，在數學分析中，有限開覆蓋定理就是描述的關于無限及有限的問題.有限開覆蓋定理(Heine-Borel定理)主要描述的是歐氏空間局部的緊性，這個性質在拓撲里應用比較普遍，這個定理本身也不是很直觀.簡單來講，就是微積分本身從有限到無限的一次飛躍，但是技術上很多無限的問題仍然需要轉化為有限的問題才能解決，從有限開覆蓋定理的敘述就可以看出，該定理可以實現從無限到有限的歸約.該定理另一個用途是在于從局部向整體的歸約，只要把每一點局部的性質分析清楚了就可以推廣到整個區域上，這一點也體現了微積分的核心.例如：

若 y(n+1)>y(n)；lim yn->∞；lim(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)存在，那么lim xn/yn=lim(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn).

分析：lim(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)存在

設lim(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)=a

對于任意e>0,存在N使得，對n>N有|(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)-a|

那么對于n>N,有

a-e<(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)

那么

(a-e)(y(N+2)-y(N+1))

(a-e)(y(N+3)-y(N+2))

…

(a-e)(y(n+1)-yn)

(a-e)(y(n+1)-y(N+1))

故

|(x(n+1)-x(N+1))/(y(n+1)-y(N+1))-a|

現在要轉化xn/yn為含有上式的形式，并證明其極限xn/yn-a=(xn-x(N+1))/(yn-y(N+1))*(yn-y(N+1))/yn+(x(N+1)-a*y(N+1))/yn，

根據上式：

|xn/yn-a|<=e|1-y(N+1)/yn|+|(x(N+1)-a*y(N+1))/yn|<=e+|(x(N+1)-a*y(N+1))/yn|，

存在N'>N使得對n>N'有|(x(N+1)-a*y(N+1))/yn|0有|xn/yn-a|<2e，

那么lim xn/yn=lim(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)這個理論證明，直觀地分析了有限與無限的關系.

2 掌握數學分析中矛盾問題的學習方法

首先，要以幾何直觀做啟發,大膽想象,嚴密論證.數學分析的一個特點是高度抽象性,而且幾何直觀確實不能代替嚴密的證明，但一味的強調抽象性,容易迷失方向,而幾何直觀對許多分析定理有啟發作用.很多定理可以從幾何直觀中觀察出來,加以提煉,最后嚴格證明而上升為定理.如費馬引理,即可導函數的極值點處導數值為0，幾何直觀上,一個可導函數在極值點處的切線應該是水平的,而且似乎不一定要求導函數連續,然后通過分析嚴格證明的猜想.

但是,問題還可提升高度，上面說可導函數極值點導數為0,那么可以分析一下導數為0是否就是極值點，什么時候有極值點，導數為0點未必就是極值點.至于后一個問題,條件可能不止一個.其中有一個比較特殊,知道閉區間上的連續函數必有最大值和最小值.而對于非常數函數,如果最值在區間內部取得,它也是極值,如果f可導,則f'(x0)=0.于是轉到什么時候可以有內部最值(也是極值).一個條件是非常數可導函數的兩端點相等,則區間內部必有最值點,因而有內點x0滿足f'(x0)=0,于是就有了羅爾定理.又問了,這個條件必要嗎?可以舉出反例,這說明羅爾定理的條件只是充分條件.類似的幾何直觀還很多,比如把圖象旋轉一下,羅爾定理就變成了拉格朗日定理,如果用參數形式表示拉格朗日定理,則就變成了柯西定理.當然,以上只是從幾何直觀做出的猜想,接下來必須嚴格的給予證明.

其次，要從多角度思考問題.在解決了一個問題后，可以再挖掘一下,從中找到新的發現，如條件和結論對調，結論是否還成立，原問題要求函數f連續,我換成Riemann可積后,結論如何；或者說原問題是與三角函數(涉及周期性)有關,換成一般的周期函數后,結論如何.比如關于積分號下取極限(or積分運算與極限過程互換)期函數代替三角函數推廣下.(這種推廣不一定都行的通,只是提供一種可能的思路)

3 總結

總而言之，在數學分析中，要加強矛盾問題的分析，深入探討其中存在的矛盾結論，從研究方法以及評價標準等各個方面分析，進行對數學分析中存在的矛盾有一個全新的認識.

〔1〕董治強.淺析數學分析中的若干矛盾[J].佳木斯教育學院學報,2012(1):87,98.

〔2〕楊莉.數學分析中的否定判斷淺談[J].昆明冶金高等專科學校學報,2005,21(3):96-100.

〔3〕謝巍.潛無窮、實無窮與數學分析[J].四川理工學院學報,2005,18(3):96-98.

〔4〕謝太光.再探數學分析教學難問題[J].西南師范大學學報,2009,30(6):1142-1146.

〔5〕郭艷慧.數學分析中的辯證法[J].南昌教育學院學報,2011,26(9):50-51.