一種K－分布雜波參數(shù)估計(jì)方法

徐 偉，陳永森

（船舶重工集團(tuán)公司723所，揚(yáng)州225001）

0 引 言

在K－分布雜波背景中進(jìn)行恒虛警處理或者信號(hào)檢測(cè)時(shí)，需要準(zhǔn)確估計(jì)其分布參數(shù)，較大的估計(jì)誤差會(huì)導(dǎo)致較高的虛警概率。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)K－分布的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行了大量的研究，目前最有效的參數(shù)估計(jì)方法是最大似然法。由于K－分布的解析形式相對(duì)復(fù)雜，最大似然估計(jì)的解析式很難獲得，其參數(shù)估計(jì)需要用數(shù)值方法在二維參數(shù)平面內(nèi)進(jìn)行搜索［1］，計(jì)算量較大。此外，基于最大期望值（EM）的方法［2］以及基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)的方法［3］需要多次迭代，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，收斂時(shí)間較長(zhǎng)，因此工程上大都采用運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單的矩量法［4－5］。這種方法受噪聲和數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的影響較大，個(gè)別樣本甚至無法得出計(jì)算結(jié)果。Blacknell將矩量法進(jìn)行了推廣［6］，即利用xln（x）的各階期望進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，但仍然無法滿足實(shí)際雜波處理要求。本文針對(duì)該問題，從工程應(yīng)用角度出發(fā)，提出利用ln（x）的一、二階矩求解K－分布雜波的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)的方法，這種方法受噪聲影響較小，能夠有效避免錯(cuò)誤估計(jì)的發(fā)生，仿真和實(shí)測(cè)雜波數(shù)據(jù)處理表明了該方法的準(zhǔn)確性和有效性。

1 參數(shù)估計(jì)

K－分布的概率密度函數(shù)為［4］：

式中：Γ（·）為伽馬函數(shù)；Kv－1為v階第二類修正貝塞爾函數(shù)；a為尺度因子，a＞0；v為形狀參數(shù)，v＞0，v越大，f（x）越向右偏離，x＞0。

K－分布的r階矩［4］為：

文獻(xiàn)［4］提出利用K－分布的各階矩估計(jì)其參數(shù)的方法，即：

由式（2）得：

實(shí)際雜波處理中，當(dāng)雜波的形狀參數(shù)v較大時(shí)，由式（4）知，f（v）≈2。當(dāng)受到噪聲和有限數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的影響時(shí)，通過數(shù)值方法獲得的二、四階矩存在誤差，個(gè)別樣本出現(xiàn)的情況，此時(shí)利用式（3）進(jìn)行估計(jì)，會(huì)得出的錯(cuò)誤估計(jì)結(jié)果。文獻(xiàn)［6］提出的基于xln（x）的方法亦是如此。針對(duì)該問題，本文提出利用xln（x）的一、二階矩估計(jì)K－分布參數(shù)估計(jì)方法，避免錯(cuò)誤估計(jì)的發(fā)生，提高估計(jì)精度。

令z＝ln（x），由式（1）得z的一階原點(diǎn)矩為：

式中：γ為常數(shù)；Ψ（·）為Psi函數(shù)。

z的二階原點(diǎn)矩：

由于ln（2a）＝ln（2）＋ln（a），故可得：

式中：Ψ（1，·）為一階Psi函數(shù)。

式（7）即為形狀參數(shù)的估計(jì)表達(dá)式，利用數(shù)值方法獲得z的一、二階原點(diǎn)矩求解式（7）即可得到估計(jì)值）的值可以通過查表獲得。由式（4），得尺度參數(shù)a的估計(jì)值：

當(dāng)通過數(shù)值方法獲得的z的一、二階矩存在誤差時(shí)，該方法在E［z］和E［z2］之間提供了余量，保證估計(jì)式（7）有解，減少了錯(cuò)誤估計(jì)的出現(xiàn)。

2 有效性與精度分析

由于K－分布的形狀參數(shù)v＞0，設(shè)估計(jì)結(jié)果0的為有效估計(jì)，定義估計(jì)有效率ρ為有效估計(jì)次數(shù)與總估計(jì)次數(shù)之比。為驗(yàn)證本文方法的估計(jì)有效率和估計(jì)精度，進(jìn)行了仿真分析，利用計(jì)算機(jī)生成不同形狀參數(shù)的K－分布數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)數(shù)512個(gè)，采用本文方法、常規(guī)矩估計(jì)方法和xln（x）方法分別進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，對(duì)每個(gè)形狀進(jìn)行1 000次仿真，3種方法的估計(jì)有效率ρ隨形狀參數(shù)的變化關(guān)系如圖1所示。

圖1 估計(jì)有效率

可以看出，當(dāng)v較小時(shí)，3種方法均能以較高的ρ進(jìn)行估計(jì)，但隨著v的增大，矩估計(jì)方法和xln（x）法的估計(jì)有效率逐漸減小，這與分析一致，而本文方法不受此影響。圖2給出了3種方法的估計(jì)精度，估計(jì)精度通過相對(duì)誤差表征，可以看出3種方法估計(jì)精度受形狀參數(shù)v的影響較大，當(dāng)v＜15時(shí)，xln（x）法具有較高的估計(jì)精度，本文方法的相對(duì)估計(jì)誤差較大，但在30%以內(nèi)，能夠滿足工程要求；當(dāng)v＞15時(shí)，本文方法或矩估計(jì)方法給出最小的估計(jì)誤差。

圖2 估計(jì)相對(duì)誤差

3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

為驗(yàn)證本文方法的有效性，對(duì)169組不同距離單元的實(shí)測(cè)海雜波數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。數(shù)據(jù)采集條件為：雷達(dá)距海面7m，H 極化，脈寬0.5μs，重頻5kHz，2級(jí)海情。圖3所示為第60距離單元的雜波幅度波形和功率譜密度，幅度分布直方圖如圖4所示，其分布特性偏右，形狀參數(shù)v較大。

圖3 實(shí)測(cè)雜波數(shù)據(jù)時(shí)域頻率波形

圖4 雜波幅度分布特性

采用不同方法對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，結(jié)果列于表1中。可以看出，矩估計(jì)方法和xln（x）法對(duì)形狀參數(shù)的估計(jì)結(jié)果為負(fù)，為錯(cuò)誤估計(jì)。而本文方法能夠給出了v和a的估計(jì)結(jié)果，按照該估計(jì)參數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行K－分布擬合，結(jié)果如圖4所示。可以看出，擬合結(jié)果能夠很好地和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相吻合。

表1 雜波數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

對(duì)全部數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，統(tǒng)計(jì)有效估計(jì)次數(shù)和平均擬合誤差，擬合誤差的計(jì)算方法為：

統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

可以看出，矩估計(jì)方法和xln（x）法無法對(duì)全部數(shù)據(jù)進(jìn)行有效估計(jì)，矩估計(jì)方法的估計(jì)有效率為65.7%，xln（x）法的估計(jì)有效率為72.8%；而本文方法對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行了有效擬合，平均擬合誤差介于xln（x）法和矩估計(jì)方法之間，能滿足工程要求。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用ln（x）的一、二階矩之間的特定函數(shù)關(guān)系求解K－分布雜波的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，避免了常規(guī)方法在處理雜波數(shù)據(jù)時(shí)由于數(shù)據(jù)長(zhǎng)度有限和噪聲所導(dǎo)致的錯(cuò)誤估計(jì)的發(fā)生。利用該方法對(duì)不同形狀參數(shù)的K－分布數(shù)據(jù)進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)，結(jié)果表明該方法具有很高的估計(jì)有效率，利用實(shí)測(cè)海雜波數(shù)據(jù)對(duì)本文方法進(jìn)行了處理，說明了本文方法具有很高的工程實(shí)用價(jià)值。

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