一種基于卡爾曼濾波的船載伺服系統隨機誤差處理方法

陶 敏，丁求啟，張桂平

（中國衛星海上測控部 江蘇 江陰 214431）

伺服系統是測角系統的重要組成部分，它接收來自接收機的誤差信號，經數字處理、放大最后饋給執行元件（伺服電機）驅動天線移向減少誤差的方向，從而完成對目標的跟蹤。隨著科學技術的發展，特別是計算機技術的發展和應用，航天測量船伺服系統已發展成為一個集目標搜索、捕獲、跟蹤、信號處理等各種功能為一體的自動化計算機控制系統[1]。信號在傳輸與檢測過程中不可避免地受到外來干擾與設備內部噪聲的影響，導致接收端收到的信號含有隨機誤差。1960年由R.E.Kalman先生首次提出的卡爾曼濾波是一種線性最小方差估計，相對于以前的幾種估計方法（如最小二乘法、最小方差估計、極大驗后估計、貝葉斯估計、極大似然估計），卡爾曼估計從與被提取信號有關的測量值中通過算法估計出所需信號，它實際是對隨時間改變參數估計的一種順序最小二乘逼近[2]。考慮一個隨時間變化的參數變量（狀態矢量），并通過一個線性模型（系統模型），卡爾曼濾波就可以提供在任何時刻對狀態矢量進行估計的一套算法[3]。

本設計基于Singer模型，針對航天測量船的伺服控制系統，建立了一整套的卡爾曼濾波算法，以達到減小隨機誤差，提高測量精度的目的。

1 航天測量船伺服控制系統

航天測量船伺服系統在控制結構上采用典型的位置環、速度環、電流環三環結構，以改善機電結合系統的性能。設計電流環有利于改善電機的動態特性，克服力矩控制死區和非線性，設計速度環以提高系統的抗負載擾動的能力，位置環是保證跟蹤性能的外環，用以提高傳動系統的動態性能。

在控制方案上仍采用傳統的經典控制理論設計，即陀螺穩定環、自跟蹤環、數引環結構。各個環的信號處理仍將是基于偏差控制，并采用頻率域的方法進行設計校正。ACU控制環路方框圖如圖1所示。

在自跟蹤方式下，跟蹤接收機把解算出的角誤差加入位置回路。位置回路對這個誤差信號進行校正、處理后，送給速度環和電流環，驅動天線向較少誤差的方向運動，完成自跟蹤閉環。由此可以看出，角誤差電壓的精度是影響測量船測控精度的一個關鍵因素。

圖2給出了測量船伺服系統某次在跟蹤信標球時的角誤差電壓：

采用變量差分法，對方位角誤差電壓以及俯仰角誤差電壓進行隨機誤差的計算。

圖3分別給出了方位、俯仰角誤差電壓的3次差分值，從圖中可以明顯的看出方位、俯仰誤差電壓存在隨機誤差，經過計算可以得到方位、俯仰角誤差電壓的隨機誤差為：

圖1 ACU控制環路方框圖Fig.1 Structure diagram of the ACU control loop

圖2 方位、俯仰角誤差電壓Fig.2 Angle error vo1tage of azimuth and elevation

在自跟蹤條件下，跟蹤接收機解算出的方位、俯仰角誤差電壓值基本上是在10-2水平上，因此隨機誤差對角誤差電壓的影響較大，從而影響到伺服系統的跟蹤性能以及跟蹤精度。

本設計中，采用隨機加速度的目標模型和卡爾曼濾波算法，以提高估計精度和對機動目標的自適應能力；通過線性化解耦濾波和穩態增益解析計算等措施，大大減少了實時計算工作量，提高了濾波器實時計算能力。

2 卡爾曼濾波算法的設計

圖3 方位、俯仰角誤差電壓的三次差分Fig.3 Three times difference of the azimuth and elevation angle error vo1tage

由于卡爾曼濾波器是建立在狀態方程和測量方程基礎上的，所以建立狀態方程和測量方程是使用卡爾曼濾波器的關鍵步驟[4]。系統狀態變量及測量變量選擇的結果，能夠直接影響到濾波器濾波的效果。在選擇狀態變量的時候，除了要充分考慮到所選擇的狀態變量能否正確反映系統的特征，還要考慮到狀態變量使用的可行性以及所選擇的狀態變量能否和測量變量關聯起來，即測量變量能否用狀態變量來表示。

2.1 卡爾曼濾波算法狀態方程的建立

本設計采用Singer模型[5]，它的基本思想是：假定目標非機動時，作勻速直線運動，目標轉彎、加速及大氣湍流等擾動引起的加速度變化，看成是勻速直線運動軌道上的擾動，這一擾動過程用 a（t）表示，a（t）在時間上是相關的，通常假定該擾動過程在空間方位、俯仰兩個坐標軸的方向近似彼此獨立，現只研究方位通道，俯仰通道可類推。

方位通道上的狀態方程：

根據航天測量船伺服系統的特點，狀態變量x1表示方位角誤差，x2表示方位角誤差加速度，ax（t）可根據其相關統計特性，由白噪聲驅動的線性系統的輸出求得，典型的隨機加速度相關函數為：

對式（2）進行譜分析可得加速度的時域表達式：

式中ω（t）為白噪聲，其相關函數為：

將式（3）增廣至（1）中，得狀態方程：

將式（5）離散化，當 τm>>Δt時，簡記為：

式中Δt為步長，

ω（k）為高斯白噪聲序列，其方差 Q=E[ω（k）2]=2/τm

由上述可知，τm和σm是描述目標機動的兩個重要參數。

理論分析和仿真表明當τm→0時，目標可近似看作勻速運動模型；而τm→∞當時，目標可近似看作勻加速運動模型。

σm的大小主要反映目標機動強度，可見Singer模型實質是一個介于勻速和勻加速運動模型之間的模型，而且與目標機動情況相聯系，用它作為伺服系統中的目標運動模型，方便、靈活。

2.2 濾波器的測量方程

在伺服系統中，一般直接使用測得的目標球形極坐標值即方位角度、俯仰角度以及距離值。此時，測量方程的觀測誤差是彼此耦合的，導致測量方程彼此耦合。盡管濾波器的狀態方程根據假定彼此獨立，濾波器仍要設計為9態濾波器，其計算量是非常大的。

根據有關資料分析表明，在實際應用中，可近似假定直角坐標系測量誤差互不相關，則就可以將濾波器設計成二個三態濾波器，這將使濾波計算量顯著減少，而濾波性能無明顯降低[6]。在本設計中，只對這種線性化解耦后的濾波算法進行研究。

此外，測量噪聲嚴格地說明這是一個非平穩隨機過程，需實時計算其方差。為了進一步簡化計算，假定各通道的測量噪聲方差σ2為常量，其值可根據實踐經驗或具體傳感器誤差的統計特性適當選擇。

仍以方位通道為例，則測量方程可寫成：

式中 H=（1，0，0）為觀測陣，v（k）為高斯白噪聲隨機序列，均值為 0，方差為 E[v（k）2]=σ2=R，x（k）為狀態向量，x1（k）為方位角位置，x2（k）為方位角速度，x3（k）為方位角加速度。

2.3 濾波方程

可得濾波方程如下：

狀態預測為

狀態濾波為

增益為

預測誤差為

濾波誤差為

對于我們的系統有滿秩可控陣為 Wc=[Γ φΓ φ2Γ]， 滿秩可觀陣為 Wo=[HTφTHTφ2HT]。

可見系統是完全可控和完全可觀測的，由卡爾曼濾波器的穩定性理論可知，不論如何選取初值，當時間充分長后，其濾波誤差陣將趨于一個唯一的正定陣，它的增益矩陣也將趨于一個唯一的確定陣。這樣，可在較寬范圍內選擇x?（0/0）和p（0/0），免去對增益的遞推計算，大大減少了濾波計算量。

3 實驗結果

由測量船伺服控制系統的控制環路圖可知在自跟蹤方式下，伺服系統是根據角誤差電壓來控制天線向減小誤差電壓的方向運動的。所以，角誤差電壓的精度直接影響到伺服系統跟蹤目標的精度。

采用本文設計的卡爾曼濾波器對方位、俯仰角誤差電壓分別進行濾波處理，處理后的方位、俯仰角誤差電壓如圖4、5所示。

對濾波處理后的數據進行變量差分計算隨機誤差得到：

從方位、俯仰角誤差電壓濾波前后對比圖中可以看出，濾波后角誤差電壓中突變的數據大量減少，數據變化更加連續，這也更加符合實際跟蹤過程；對比濾波前后的隨機誤差大小，本文設計的卡爾曼濾波器能夠較大程度的減小夾雜在方位、俯仰角誤差電壓中的隨機誤差，提高了誤差電壓的精度。

4 結 論

圖4 濾波前、后方位角誤差電壓Fig.4 Azimuth angle error vo1tage between using and not using filter

圖5 濾波前、后俯仰角誤差電壓Fig.5 Elevation angle error vo1tage between using and not using filter

圖6 濾波后方位、俯仰角誤差電壓的三次差分Fig.6 Three times difference of the azimuth and elevation angle error vo1tage after using filter

本文通過對航天測量船伺服控制系統控制結構的分析，基于著名的Singer模型，建立了針對航天測量船伺服系統的卡爾曼濾波算法，并通過計算機進行了數字仿真研究。由于兩個通道具有相同的數學模型，它們的濾波特性相同，本文只對方位通道進行了詳細的卡爾曼濾波器建模。采用了測量船伺服系統某次跟蹤信標球的記盤數據作為仿真數據，分別對方位角誤差電壓以及俯仰角誤差電壓進行了濾波處理和分析。從仿真結果分析可以看出，采用卡爾曼濾波器后，能夠較大程度的減小隨機誤差，提高了伺服控制系統控制量的精度，從而達到了預期的效果。

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[2]付夢印，鄧志紅，張繼偉.Kalman濾波理論及其在導航系統中的應用[M].2版.北京：科學出版社，2010.

[3]黃波，鄭新興，劉鳳偉.一種卡爾曼濾波自適應算法[J].大眾科技，2012，14（151）：23-25.HUANG Bo，ZHENG Xin-xing，LIU Feng-wei.A adaptive algorithm on kalman filtering[J].媒體外文缺失，2012，14（151）:23-25.

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