挖點法在函數(shù)論中的應(yīng)用

張 騫 （隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 慶陽745000）

在函數(shù)論中有很多性質(zhì)的證明和計算問題，下面筆者主要介紹了挖點法在函數(shù)論性質(zhì)證明和計算中的作用，使得一些問題的解決方法顯得直接、簡潔，體現(xiàn)出挖點法在解決不同問題中的統(tǒng)一性。

1 在極限和連續(xù)性證明中的應(yīng)用

命題1［1］（收斂數(shù)列必有界） 若數(shù)列｛an｝收斂，則｛an｝有界。

證明 設(shè)｛an｝的極限為a，挖去點a的某一個充分小鄰域U（a；ε0），由數(shù)列極限的定義，存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時，an∈U（a；ε0），即數(shù)列｛an｝中，n＞N的項有界；而n≤N的項只有有限項，顯然有界，所以｛an｝是有界數(shù)列。

2 證明區(qū)間套定理的推論

命題2［1］（區(qū)間套定理的推論1） 若ξ∈ ［an，bn］（n＝1，2，…）是區(qū)間套 ｛［an，bn］｝所確定的點，則對任意ε＞0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時，［an，bn］?U（ξ；ε）。

命題3 （區(qū)間套定理的推論2） 若ξ∈ ［an，bn］（n＝1，2，…）是區(qū)間套 ｛［an，bn］｝所確定的點，則挖去ξ點的任意鄰域，即可挖去區(qū)間套｛［an，bn］｝中的無限個閉區(qū)間。

證明 由命題2知對任意ε＞0，存在正整數(shù)N ，當(dāng)n＞N時，［an，bn］?U（ξ；ε），即在U（ξ；ε）內(nèi)包含區(qū)間套｛［an，bn］｝中n＞N的所有 （無限個）閉區(qū)間，則當(dāng)挖去ξ點的任意鄰域U（ξ；ε）時，即可挖去區(qū)間套 ｛［an，bn］｝中的無限個閉區(qū)間。

3 在可積性證明中的應(yīng)用

命題4［1］若f是區(qū)間［a，b］上只有有限個間斷點的有界函數(shù)，則f在［a，b］上可積。

所以f在［a，b］上可積。

4 在積分計算中的應(yīng)用

解 由于1是瑕點，挖去1點的左鄰域U（1）＝（u，1），則：

由例3和例4可以看出，非正常積分的計算，其實質(zhì)是挖點法。

解 由于 （0，0）在c的內(nèi)部，則P（x，y），Q（x，y）在c所確定的閉區(qū)域D 上有一點 （0，0）處不滿足Green公式，這時可以采取挖點法將（0，0）挖掉，用一條包含在c的內(nèi)部且以（0，0）為內(nèi)點的簡單閉曲線l挖掉（0，0）點，這樣由閉曲線c和l確定了一個復(fù)連通的閉區(qū)域，在其上滿足Green公式。為了計算取圓l：x2＋y2＝ε2，圓區(qū)域為D′，利用Green公式，有：

解 由于原點在S的內(nèi)部區(qū)域，則P，Q，R在S的內(nèi)部有一個奇點（0，0，0）不滿足Gauss公式，這時可以采取挖點法將這個奇點挖掉，用一包含在S的內(nèi)部且以（0，0，0）為內(nèi)點的光滑閉曲面S′挖掉（0，0，0）點，這樣由閉曲線S和S′確定了一個空間復(fù)連通的閉區(qū)域，在其上滿足Gauss公式。為了易于計算取S′：x2＋y2＋z2＝ε2，利用Gauss公式有：

則：

從上述例子可以看出，挖點法在函數(shù)論中的重要性，在極限理論、可積性以及積分計算等不同問題中均可以采取挖點法，體現(xiàn)了挖點法在不同問題中的統(tǒng)一應(yīng)用，特別在積分計算中應(yīng)用挖點法可以使其轉(zhuǎn)化，也體現(xiàn)了一種間接計算方法。

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 （上、下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［2］鐘玉泉 .復(fù)變函數(shù)論 ［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［3］鐘玉泉 .復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書 ［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］裴禮文 .數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 ［M］.北京：高等教育出版社，2003.