微積分在數學建模中的應用

張 琪

（山西職業技術學院,山西 太原 030006）

微積分是高等數學的重要組成部分，是高等數學的核心內容。高職院校講授的微積分主要包括：函數的極限、連續、導數（導數的應用）、微分、不定積分以及定積分。高等數學作為一門重要的基礎學科和一種精確的數學語言，以一種高度抽象的形式出現。任何學科，只有走向應用，顯示出它在各個領域中的作用，才能真正做到“學以致用”。而數學建模，正是聯系數學與應用的重要橋梁，是數學走向應用的必經之路。

一、微積分的發展與數學模型

微積分的創立初衷是為解決17世紀的科學問題，如已知物體的加速度，求物體的速度和距離，求函數的最值，求曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、引力等問題。數學家通過對這些問題的研究，開啟了數學最龐大部分的開端，也就是分析部分的開端。英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茲，總結和發展了幾百年間前人的工作而建立了微積分，但他們的出發點是直觀的無窮小量，尚且缺乏嚴密的理論基礎。19世紀，柯西和魏爾斯特拉斯把微積分建立在極限理論的基礎上，加之19世紀后半葉康托爾等建立了實數理論，又使極限理論有了嚴格的理論基礎，從而使微積分的基礎和思想方法日臻完善。微積分從創立到之后的發展，都與應用結合在一起，伴隨著在各個領域的廣泛應用，微積分才能形成如此完善、嚴密的理論體系。

數學模型是用數學符號、數字、公式、文字、圖表等形式來對一個特定對象進行刻畫描述，根據對象具有的內在規律，在作出必要、合理的簡化假設的基礎上得到的數學結構表達式。例如，某一地區的地質結構情況并不需要實物進行模擬，它可以用抽象的數學符號、數字和公式來反映。數學模型便是一種模擬，它用數學符號、數學式子、數學圖象等來對實際問題進行抽象而又簡潔的刻畫，從數學的角度對它進行研究，或者能解釋某些客觀現象，或者能預測未來的發展變化等等。數學模型的建立需要對實際問題作深入細致的觀察和研究，并且要巧妙地結合數學知識和數學工具，而這種從實際問題到提煉數學模型的過程，被稱為數學建模。數學建模的基本過程可以簡單地歸納為四個步驟：模型準備、建立模型、模型求解、模型檢驗。

二、微積分在數學建模中的應用

微積分學這門學科在數學發展中的地位是十分重要的，可以說是繼歐氏幾何后數學科學中最輝煌的創造。微積分推動了天文學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支的發展。人們運用微積分建立了許多數學模型，卓越的英國物理學家、數學家牛頓在研究變速運動過程中發明了微積分（當時稱為流術法），又以微積分為工具在開普勒三定律及牛頓第二定律的基礎上，推導出牛頓第三定律——萬有引力定律，這一發現直到今天仍是物理學中一條基本定律。英國人口學家馬爾薩斯利用微積分建立了著名的人口指數增長模型（模型的基本假設為人口增長率是常數）。但從長期來看，人口不可能隨時間無限增長，人口增長率會隨環境、資源、戰爭等因素發生變化。19世紀中葉荷蘭生物數學家韋爾侯斯特通過微積分建立阻滯增長模型，它不僅能夠大體上描述人口及許多物種數量（魚塘中的魚群）的變化規律，而且在社會經濟領域也有廣泛的應用，例如耐用消費品的銷售量。經濟學中著名的數學模型道格拉斯生產函數、經濟訂貨批量公式也是由微積分得到的。

微積分微分學主要涉及的科學問題是求曲線的切線、求瞬時變化率、求函數的極值及最值等問題，積分學則更多地運用于求由平面曲線圍成的面積、立體圖形的體積以及曲線的弧長等等問題。不同的實際問題運用微積分，用不同的數學語言來刻畫，得到的數學模型也不相同。

利用導數知識，可以討論經濟學中常用的邊際分析和彈性分析，例如商家應該怎樣對市場進行預測、分析，產品如何定價及價格的調整會產生多大影響等問題。多元函數的微積分學涉及到多元函數偏導數、偏邊際、偏彈性和交叉彈性、條件極值等內容，應用實例有衣物怎樣漂洗最干凈、相互關聯商品的需求分析、拉格朗日乘數與影子價格等。函數的極值、最值多涉及比較簡單的優化問題，例如易拉罐的形狀與尺寸問題，怎樣能提高材料的利用率，降低生產成本，特別是平均每天產量達到成千上萬的大企業，成本問題尤其重要。利用積分的微元法，可以驗證擺線的等時性（最速下降線問題），確定一條從A點到B點得曲線（B點在A點下方但不是正下方），使得一顆珠子在重力的作用下沿著這條曲線滑落所需時間最短，讓人意外的是，它不是連接兩點的直線或者圓弧，而是唯一的一條連接A點到B點的上凹擺線。這個結論可以解釋為什么我國古代的宮殿廟宇的大屋頂的橫截面大多近似呈擺線形狀，除了外形雄偉，更具有屋頂雨水流動快的特點。微分方程一般用于建立動態模型，實際對象的某些特性隨時間而變化，分析它的變化規律、預測未來的發展，有時會研究如何對其進行有效的控制。不僅在自然科學中存在著大量的微分方程，在社會科學、經濟學中也存在著微分方程，例如計算固定資產的折舊、放射性元素的衰變、水庫的污染問題等等。

微積分是微分學和積分學的統稱，對高職學生來說，除了必要的理論學習與計算之外，更重要的是學習一種數學思想，并且學會運用這種思想來解決實際問題。微分就是“無限細分”，積分就是“無限求和”，“無限”便是極限，極限是微積分的基礎，它是用一種“動態”的角度看待問題。如何將微積分與實際問題結合在一起，通過微積分來建立數學模型呢？下面來看兩個實例。

1.森林救火模型

我們重點來分析建立數學模型的思路。

問題分析：消防站派出的隊員越多，相對來說，滅火速度越快，那么森林的損失越小，但是救援的費用越大。如果為了節省救援費用，只派出少量隊員，就會造成火災持續時間延長，森林的損失就越大。所以需要綜合考慮森林的損失費和救援費，使得兩者的費用之和最低。顯然，森林損失費、救援費與消防隊員的人數有直接關系，以總費用最小來決定派出隊員的數目。這樣，救火問題便可以歸結為微積分中的函數極值問題，可以直接用微分法求解。

在對實際問題進行深入分析之后，問題轉化為如何建立一個總費用與消防隊員人數兩者之間的函數關系，即模型的目標函數。森林的損失費與森林燒毀面積成正比，救援費用分為兩部分，一是滅火器材的消耗，消防隊員的酬勞，與隊員人數、滅火所用的時間有關，二是從消防站到火災現場的運送費等一次性支出費，只和隊員人數有關。在明確目標函數如何建立之后，其中一個難點便是如何找到森林燒毀面積B(t)的合理表示。下面我們就借助微積分來解決這一難題。由于森林的損失費用與森林的燒毀面積成正比，而燒毀面積與失火持續的時間有關，在沒有任何數據支持的情況下，很難得出燒毀面積與時間之間的函數關系。我們知道，在消防隊員到達之前，火勢一定蔓延得很快，可以認為火勢以失火點為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，在消防隊員到達現場之后，如果消防隊員的救火能力足夠強，情況就會得到有效控制，火勢就會越來越小。在這種情況下，不如轉而去研究燒毀面積函數的導數dB(t)/dt，也就是單位時間燒毀的面積（火勢蔓延的程度），這樣更為方便和直接。從火災的開始時刻t=0到滅火時刻t1，這個時間段是火災的持續時間，那么，我們便可以將森林在這一段時間的燒毀面積表示為在區間[0,t1]上dB(t)/dt的定積分了，問題迎刃而解。然后再對燒毀森林的損失費、救援費及火勢蔓延程度的形式作出假設，就能得到救火總費用的數學模型。

利用導數，便可求得問題的最優解。建立這個模型的關鍵是對火勢蔓延程度的假設，當然在建模過程中，我們沒有考慮風力的大小，在風勢的影響下，模型還需要進一步改進。

2.微波爐銷售模型

在生活水平日益提高的今天，微波爐越來越受到人們的青睞。對于微波爐生產廠家，應該對產品銷售的變化規律來進行研究，以科學制定生產計劃和促銷策略。顯然，銷售量可以看做是時間的函數，因為微波爐是耐用產品，所以假設人們不會重復購買，產品的累計銷售量與購買者人數相等。因此，假設x(t)為t時刻購買微波爐的人數，x1表示潛在消費者總數。在時間[t,t+△t]內，購買者增量△x與已購買者人數和未購買者人數之積成正比，即

△x=ax(t)(x1－x(t))△t(a＆gt;0是比例系數)

取x(0)=b,這就是微波爐銷售量的數學模型。

數學建模本身就是一個創造性的思維過程，它是分析問題、解決問題的思維過程，數學建模的內容來自于實際、方法結合于實際、結果應用于實際，要選準切入點，爭取將微積分和實際問題有機結合，體現數學建模的思想。在上面的例子中，所有的分析都是從實際問題出發，將實際問題轉化為數學語言，例如單位時間燒毀的面積（火勢蔓延的程度），正是燒毀面積函數的導數。數學建模能力和純粹數學學習的能力是不一樣的，它需要不斷地鍛煉和培養。

到目前為止，幾乎數學學科的所有分支都存在于自然科學、社會科學、工程技術和信息技術等領域。微積分是高等數學的核心內容，在數學建模中有著非常廣泛的應用，優化模型中，如存貯模型、最優價格模型；微分方程模型中的傳染病模型、經濟增長模型等一系列的經典模型都是利用微積分建立起來的。現在高等數學的教學已經不再僅僅是經典理論的學習，更多的則是將所學知識應用于實際問題中去，很多實際問題，都可以找到對應的數學模型，通過對模型的研究、分析，對實際問題會起到一定的指導作用。微積分從創立開始，就一直與實際應用結合在一起。讓學生學會如何通過數學知識來解決實際問題。數學建模提供了一個理論與實際相結合的平臺，在微積分教學中融入數學建模思想，不僅可以使學生了解數學知識在生活實際中的應用，還能提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，做到“學以致用”。通過數學建模的實踐，提高了學生運用數學知識解決實際問題的能力，也為后續課程的學習打下了堅實的基礎。數學建模是數學走向應用的必經之路。了解微積分在眾多學科中的應用，理解抽象的定義、公式背后蘊含的數學思想，培養學生從實際問題到數學模型的提煉的能力，對高等數學的教學改革和課程建設都將起到積極的推動作用。

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