線性系統(tǒng)分析中的若干問題探討

摘要：在系統(tǒng)分析中，“0-系統(tǒng)”比“0+系統(tǒng)”更受青睞，并得到廣泛使用，但對它的認(rèn)識與理解卻不如“0+系統(tǒng)”，存在一些誤區(qū)與不足。以LTI連續(xù)時間系統(tǒng)為對象，在分析“0-系統(tǒng)”數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，討論了0-邊界條件與0+邊界條件的關(guān)系、0-邊界條件與零輸入響應(yīng)的關(guān)系，給出了獨到的觀點。

關(guān)鍵詞：0-系統(tǒng)；0-邊界條件；零輸入響應(yīng)

作者簡介：王麗娟（1957-），女，河北蠡縣人，南京中國人民解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院，副教授。（江蘇 南京 210007）

中圖分類號：TM7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）05-0234-03

在系統(tǒng)分析與研究中，常見“0+系統(tǒng)”和“0-系統(tǒng)”兩類分析模式。高等數(shù)學(xué)側(cè)重介紹“0+系統(tǒng)”數(shù)學(xué)模型及其求解方法，“信號與系統(tǒng)”課程則偏愛用“0-系統(tǒng)”模型來研究問題，因為用“0-系統(tǒng)”數(shù)學(xué)模型分析線性系統(tǒng)靈活方便，并容易區(qū)分零輸入響應(yīng)分量和零狀態(tài)響應(yīng)分量。但是，人們對“0-系統(tǒng)”的認(rèn)識與理解遠(yuǎn)不如“0+系統(tǒng)”，存在一些認(rèn)識上的誤區(qū)，常會把在“0+系統(tǒng)”模型下得到的認(rèn)識與結(jié)論盲目地套用到“0-系統(tǒng)”上，導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。以下將從分析系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型入手，討論“0-系統(tǒng)”的某些特殊規(guī)律。

一、“0+系統(tǒng)”與“0-系統(tǒng)”數(shù)學(xué)模型的差異

假設(shè)在t=0時刻系統(tǒng)發(fā)生換路，激勵接入系統(tǒng)；換路前瞬間用t=0-表示，換路后瞬間用t=0+表示。“0+系統(tǒng)”數(shù)學(xué)模型與“0-系統(tǒng)”數(shù)學(xué)模型的區(qū)別僅在t=0一點上。前者的起點選在t=0+，故為“0+系統(tǒng)”；t=0時刻被排除在數(shù)學(xué)模型之外。后者的數(shù)學(xué)模型建立在t≥0區(qū)域，起點選在系統(tǒng)換路之前的t= 0-，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型包括t=0時刻。

1.“系統(tǒng)”的數(shù)學(xué)模型

對于n階LTI連續(xù)時間系統(tǒng)而言，用0+模式描述的系統(tǒng)輸入/輸出關(guān)系為：

可見，雖然該二階系統(tǒng)，但系統(tǒng)的起始狀態(tài)和不為零，系統(tǒng)中電容和電感都有初始儲能。不難推斷，換路后的零輸入響應(yīng)不為零。

常用邊界條件除了數(shù)組外，還有狀態(tài)變量數(shù)組和，即選擇系統(tǒng)中獨立電感電流和獨立電容電壓。對于狀態(tài)數(shù)組而言，它們反映系統(tǒng)的儲能狀態(tài)是產(chǎn)生零輸入響應(yīng)的“源泉”，與零輸入響應(yīng)之間存在因果關(guān)系；并且系統(tǒng)儲能在換路時刻一般不會突變，故通常可以說，當(dāng)系統(tǒng)中所有和都為零時系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為零。

觀點4：就邊界條件而言，無論是數(shù)組還是狀態(tài)數(shù)組和，只要數(shù)組中有一個數(shù)據(jù)不為零，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)存在。當(dāng)狀態(tài)數(shù)組與全為零時，通常系統(tǒng)不存在零輸入響應(yīng)。當(dāng)數(shù)組出現(xiàn)全零時，零輸入響應(yīng)可能存在。若數(shù)組全零，同時零輸入響應(yīng)的“系統(tǒng)”微分方程為齊次，則系統(tǒng)零輸入響應(yīng)為零；若數(shù)組值全零，且描述零輸入響應(yīng)的“系統(tǒng)”微分方程非齊次，微分方程中出現(xiàn)了沖激函數(shù)或沖激函數(shù)的各階導(dǎo)函數(shù)，在此情況下，零輸入響應(yīng)存在。

四、結(jié)語

在“信號與系統(tǒng)”課程教學(xué)基本要求中，用經(jīng)典法分析LTI連續(xù)時間系統(tǒng)被規(guī)定為掌握內(nèi)容。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，由于對系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以及相關(guān)規(guī)律缺乏充分的認(rèn)識，在遇到給定邊界條件的電系統(tǒng)分析實例時，往往因錯誤套用“系統(tǒng)”的數(shù)學(xué)模型以及引用相關(guān)結(jié)論產(chǎn)生令人困惑的錯誤結(jié)果。本文的目的之一是嘗試解惑。其次是想拋磚引玉，希望更多的同行在關(guān)注教材知識更新同時也關(guān)注對已有教學(xué)內(nèi)容的再認(rèn)識，不斷完善經(jīng)典內(nèi)容，使之更加科學(xué)、合理。

參考文獻(xiàn)：

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[2]B.P.LATHI.線性系統(tǒng)與信號[M].第2版.劉樹棠，等，譯.西安：西安交通大學(xué)出版社，2006.

（責(zé)任編輯：王祝萍）