鋼板彈簧Fancher模型物理機理及參數辨識

何 榮，郭 睿，管 欣，彭立恩

（吉林大學 汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130022）

鋼板彈簧非獨立懸架承載特性直接影響整車的操縱穩定性和乘坐舒適性，是整車開發中重要的總成特性之一。因此，建立精準的鋼板彈簧非獨立懸架總成特性模型對于整車動力學開發具有非常重要的意義［1-2］。由于鋼板彈簧非獨立懸架的各片簧之間具有摩擦明顯、多片簧不同時起作用、加載和卸載摩擦特性不同的特點，鋼板彈簧非獨立懸架表現出了很強的非線性遲滯特征，例如小變形運動時的乘適剛度（Ride stiffness）與大變形運動時的名義剛度（Nominal stiffness）常表現出數倍的差距［3］。因此，在建立高精度汽車動力學模型的時候，必須考慮鋼板彈簧懸架的非線性遲滯特性。

目前，國內外學者和工程人員大致從兩個角度對鋼板彈簧遲滯特性模型進行了研究，一類是基于總成結構的承載特性模型，常用方法是通過有限元非線性接觸算法模擬板簧各片間的摩擦特性［4］；另一類是基于總成特性的模型［5］，如美國汽車工程學會推薦的三連桿模型，該方法結構簡單，并考慮了鋼板彈簧懸架的部分結構特征，在運動學特性計算方面的精度較高［6］。Fancher等［7-8］提出用特性方程來描述懸架非線性遲滯特性的方法，該模型是根據鋼板彈簧大量特性實驗結果總結出的半經驗模型，現已廣泛應用于汽車動力學仿真軟件CarSim 和TruckSim 中［9-10］。在參數選取方面，Fancher等［7］建議根據鋼板彈簧加載、卸載實驗曲線分別求出載荷變化與懸架變形的關系表達式。對于延遲系數β，需具有仿真曲線盡可能貼近遲滯環的特點［7］，文獻［10］建議在載荷差異超過95%時的變形量為3β。可見Fancher模型參數的選取有很大隨機性，需要人為地確定。

本文在Fancher模型的基礎上，采用非線性擬合的方法一次性獲得加載、卸載包絡曲線參數以及加載、卸載延遲系數β，通過與鋼板彈簧特性實驗結果的對比，表明該擬合參數方法具有較高的精度。同時，本文推導了該模型的微分表達形式，探討了其物理機理、適用范圍和局限性。

1 鋼板彈簧遲滯特性模型

Fancher通過大量實驗［7］認為鋼板彈簧有相當一致的載荷變形特性，可以用以下公式描述鋼板彈簧外特性：

式中：F為懸架承載力；δ為懸架垂向變形量；FENV為懸架包絡線的邊界；β為延遲系數；下標i代表仿真當前時刻，i－1代表仿真上一時刻。

模型分加載、卸載兩種工況，加載時選用包絡線上邊界FENVU和加載延遲系數βU；卸載時選用包絡線下邊界FENVL和卸載延遲系數βL。

Fancher總結的鋼板彈簧載荷和變形的關系等式可以用如下微分方程來解釋，從而更深入地分析模型的適用范圍和局限性。

式中：FS為懸架承載力；ΔS為懸架垂向變形量。

將FENV看成常量，可得

式中：ΔS連續變化，當其變化量ΔΔS特別小，為微小量時，可以將上式用一階差分形式代替：

進一步整理，可得：

根據Fancher模型仿真曲線的特點，提出了其摩擦力機理模型，如圖1所示。

圖1 摩擦力機理模型Fig.1 Friction mechanism model

該模型由主彈簧與多個串聯彈簧－摩擦力單元并聯而成，當加載和卸載時，剛度為主彈簧的剛度，當加載、卸載遷變過渡時，曲線呈變剛度特性，由于詳細內容與本文無關，不在這里贅述。

通過以上分析可以看出：Fancher模型是通過大量實驗總結出的鋼板彈簧懸架上下位形和垂直載荷關系的模型，通過上下包絡線的不同剛度可以模擬上下剛度不對稱和非線性，通過加載、卸載不同的β值模擬加載和卸載過渡曲線的不同形狀，懸架受到載荷距離包絡線上下邊界越遠，認為彈簧剛度越大，載荷趨近包絡線越快；該模型是一個穩態模型，不是動態模型，僅僅描述了穩態剛度非線性的關系，并沒有解決隨時間動態變化的關系，也就是說在位形不變時，Fancher模型認為懸架受到的載荷是一個定值，與前一時刻載荷值相等，保持不變，不隨外界載荷變化而變化，這也是該模型最大的局限性。

2 Fancher模型參數獲取方法

根據鋼板彈簧垂向載荷和位形變化的關系，Fancher將模型分加載和卸載兩種工況，并分別賦予不同的參數值，如包絡線的上下邊界的參數以及加載、卸載延遲系數βU、βL。

2.1 現有參數選取方案

Fancher在文獻［7］中提出：包絡線上下邊界和延遲系數的選取應根據外特性實驗測試結果，將上下邊界表示成函數或者表格形式，其中函數的選取由實驗測試結果確定，若上下邊界趨于線性，則選用一次多項式擬合，若曲線非線性特征明顯，則采用多次項擬合，目標是與實驗曲線上下邊界誤差較小，延遲系數的選取使得擬合曲線與實驗測量的過渡曲線更貼近?，F有的商用軟件CarSim和TruckSim在模擬懸架彈簧特性中采用了Fancher模型，對于上下邊界，建議用戶輸入加載和卸載的彈簧垂直載荷和變形離散點定義包絡線與變形量的關系。其中加載、卸載延遲系數由圖2確定，即用一個相當于時間常數的空間等價量來描述加載、卸載的遷變，將覆蓋上下邊界差異載荷值95%的變形量定義為數學模型中的3β。

圖2 延遲系數選取示意圖Fig.2 Delay coefficient of suspension

2.2 非線性參數擬合方法

根據鋼板彈簧遲滯特性曲線上下邊界的非線性程度，本文在擬合包絡線的上下邊界FENV時用彈簧變形量ΔS的五次多項式表示：

當加載時，符號函數取正；卸載時取負。根據某車型懸架的名義剛度測試實驗結果（見圖3）進行擬合Fancher模型的參數。

為使得目標函數J＝ ∑（FSi－FDATAi）2最小，選取馬夸爾特優化算法尋找參數向量。其中FSi為變形ΔSi對應的懸架垂直載荷，FDATAi為該變形對應的懸架載荷實驗測試數據。

圖3 名義剛度測試數據Fig.3 Nominal stiffness test data

馬夸爾特法［11］是使用最廣泛的非線性最小二乘算法，是利用梯度求最小值的算法，同時具有梯度法和牛頓法的優點。當拉格朗日乘子較大時，需要大范圍探測最優參數，步長約等于梯度下降法的步長；當朗格朗日乘子較小時，可以小范圍精細探測參數，步長近似等于牛頓法步長。

本次迭代一共進行了87步，給出初始參數猜測值p（1）＝［1，1，1，1，1，1，1］，其中前6個為包絡線上下邊界五次多項式的系數，最后一個是延遲系數β的初始值，前26步由于與目標值差距較大，采用較大步長，如前5步的步長分別為4.5、5.1、10、20、40，后面由于與目標值差距較小，采用小步長，迭代步長如圖4所示，直到目標函數誤差小于10－6。

圖4 迭代步長Fig.4 Step size curve

通過上述方法擬合的Fancher模型參數如表1所示，其中p1～p6為包絡線上下邊界五次多項式的系數，β為延遲系數擬合值。

采用非線性參數擬合方法可以一次性擬合出所有參數，而不需要根據實驗曲線人為地估計β的大小，同時，由于采樣間隔Δ（ΔS）和β同時影響過渡曲線，采用非線性最小二乘擬合方法不需要考慮β與步長間的關系，傳統的擬合有兩步誤差，一是擬合包絡線上下邊界時產生的，二是加入了β的取值與實驗曲線相比較時產生的；而非線性擬合是一次性擬合，精度得到了提高。

表1 參數擬合Table 1 Parameters fitting

3 模型仿真及試驗驗證

3.1 鋼板彈簧遲滯特性試驗

鋼板彈簧垂直剛度實驗分為名義剛度和乘適剛度實驗，實驗要求測量不同加載、卸載情況下的靜態位移與靜態載荷之間的關系。實驗臺架如圖5所示。實驗過程中為避免高頻情況下自身產生的慣性力影響，作動器施加的速度不可大于1 mm／s。

圖5 測試臺架示意圖Fig.5 Schematic diagram of test bench

3.2 模型仿真與驗證

將得到的名義剛度試驗數據進行非線性參數擬合，得到表1所示的模型參數。將仿真與實驗結果進行對比如圖6、圖7所示。仿真與試驗結果對比表明：該非線性參數擬合方法具有較高的精度，能夠很好地模擬鋼板彈簧非線性遲滯特性。

4 結 論

圖6 名義剛度下非線性承載特性曲線Fig.6 Force－deflection hysteresis characteristics of suspension for nominal stiffness

圖7 乘適剛度下非線性承載特性曲線Fig.7 Force-deflection hysteresis characteristics of suspension for ride stiffness

（1）對Fancher提出的垂直載荷與變形的關系式進行了微分方程解釋和推導，指出該模型是一個穩態模型，描述的是鋼板彈簧穩態剛度非線性關系，不能模擬時域內鋼板彈簧的動態特征，也沒有反映較高頻率、幅值加載時剛度變化情況，具有較大局限性。

（2）提出了Fancher模型非線性參數擬合方法，將模型分為加載和卸載兩種工況，一次性獲得包絡線上下邊界以及延遲系數等所有參數，避免了由經驗估算參數產生的誤差。

（3）使用擬合參數進行仿真，將仿真與實驗結果進行對比，表明該非線性參數擬合方法具有較高的精度。

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