多體衛星MIMO控制及穩定裕度研究

李信棟 茍興宇

北京控制工程研究所，北京 100190

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多體衛星MIMO控制及穩定裕度研究

李信棟 茍興宇

北京控制工程研究所，北京 100190

針對兩輸入兩輸出的多體衛星系統模型，采用并矢展開設計法這一多變量頻域設計技術，實現衛星本體俯仰姿態和附件指向的多輸入多輸出(MIMO)控制，利用Nyquist穩定判據證明系統的穩定性；在此基礎上討論衛星本體姿態控制與附件指向控制帶寬的關系，然后利用回差陣奇異值法計算MIMO控制系統的穩定裕度，并分析穩定裕度計算結果的保守性，數值仿真驗證了算法的有效性以及穩定裕度分析結果的正確性。 關鍵詞 多體衛星；并矢展開設計法；回差陣奇異值；穩定裕度； 衛星控制

一般的多體衛星既要對星本體進行姿態控制，又要對各附件進行指向控制，2種控制回路之間存在運動學和動力學耦合，這是一類典型的MIMO系統控制問題。此外，線性定常SISO系統有明確的穩定裕度計算方法，對某些特定的MIMO系統控制方法也有明確的穩定裕度結果，基于LQG的多變量控制系統具有至少60°的相角裕度和無窮大的增益裕度[1-2]；許多學者將奇異值分解方法應用到求解MIMO線性系統穩定裕度的理論研究中，并提出一種回差陣奇異值法[3]來計算系統的增益和相位裕度；然而對于一般MIMO系統的穩定裕度仍沒有公認統一的定義[4]。在實際工程中，獲得控制系統的穩定裕度可有助于航天器的安全在軌運行，尋求有效的計算方法得到明確的穩定裕度結果具有顯著的工程意義，文獻[5]僅完成了衛星天線指向復合控制的實物仿真驗證，取得了有用仿真成果。然而國內目前還沒有對多體衛星穩定裕度的系統研究。

為此本文對多體衛星MIMO控制系統的穩定裕度進行了探討。文中研究兩輸入兩輸出多體衛星控制系統，系統模型簡化地只考慮俯仰平面；并假設附件指向角做小角度機動。針對此系統的控制問題，結合系統模型本身的特性，采用多變量頻域理論中的并矢展開設計方法，設計衛星本體姿態和附件指向控制的MIMO控制系統；并對衛星姿態及附件指向的控制帶寬問題進行了討論。用古典控制理論的Nyquist穩定性判據判斷系統的穩定性，在此基礎上，為滿足實際工程要求，利用回差陣奇異值法計算出整個系統的穩定裕度，并討論所得穩定裕度結果的保守性。

1 系統動力學建模

圖1 平臺+天線的兩剛體構型

定義天線繞x軸和y軸的轉動角分別為α和β，運用Newton-Eular法，以1x-2y轉序為例，利用各坐標系之間的關系導出標量動力學方程。在平臺姿態可以線性化、平臺與附件機動角速度均不大的前提下，進一步將控制對象簡化為俯仰平面問題，相應標量格式的動力學方程為[6-7]

(1)

式中，Ia,yy和Ib,yy分別為航天器平臺與天線繞各自俯仰軸的轉動慣量，xra,cc,cs為系統幾何參數所決定的常系數，ma為天線質量，θ為平臺姿態轉角，β為天線轉角，Mcy為繞航天器y軸的俯仰姿態控制力矩，Mβ為β轉角控制力矩。

2 并矢展開設計方法及穩定性分析

英國學者Owens首先提出了并矢展開設計法，該方法可對控制對象由并矢傳遞函數矩陣描述的多變量系統進行有效的設計[8]。主要特點是系統傳遞函數滿足一定的特性，即要求控制對象G(s)可分解為

(2)

式中L,R是m×m常數可逆矩陣，g1(s),g2(s),…，gm(s)是一組標量傳遞函數。可設計如下控制器

K(s)=R-1diag{k1(s),k2(s),…,km(s)}L-1

(3)

通過調整ki(s)使系統具有良好的整體性，計算系統閉環傳遞函數矩陣，來檢驗系統的瞬態響應、關聯性及穩態誤差是否符合設計要求。

2.1 控制器設計

假設天線指向角在俯仰平面內做小角度機動，即在β=0°附近線性化處理，則動力學方程為

(4)

(5)

其中

將控制對象G(s)由并矢傳遞函數矩陣分解得

(6)

其中LR=M-1。根據性能要求，設計控制器

K(s)=R-1diag{k1(s),k2(s)}L-1=

(7)

則系統開環傳遞函數矩陣為

(8)

閉環傳遞函數矩陣為

(9)

作2個標量系統g1(s)k1(s)和g2(s)k2(s)的對數幅頻特性曲線，如圖2所示。顯然，2個標量系統在整個頻帶上具有比較一致的對數幅頻特性，故系統一定是弱關聯的。

圖2 g1(s)k1(s)和g2(s)k2(s)的對數幅頻特性

基于本文中的設計方法，通過圖2的比較可看出星本體控制帶寬與天線控制帶寬大小相當；而對一般帶有天線等附件的多體衛星，由于其附件跟蹤目標的軌跡通常是在平臺軌道坐標系中描述的，如果附件跟蹤指向的精度要求與姿態控制精度接近、甚至更高，則附件機動的最終指令一般需要引入星本體姿態的修正，因此，一般來說星本體-附件同時機動控制器的設計原則為：附件指向控制的帶寬必須大于星本體姿態機動控制的帶寬[5]。通過分析認為本文之所以出現二者帶寬相當，這是因為采用并矢展開法設計的結果，此結果一般適用于天線跟蹤指向精度遠低于衛星姿態控制精度，從而不需要引入從衛星姿態到天線指向的運動學前饋的情形。

2.2 穩定性分析

對于采用并矢展開法進行設計的控制系統，可通過Nyquist理論來判別整個閉環系統穩定性，并且有穩定性判據如下：

定理1 由方程

H(s)=[Im+G(s)K(s)]-1G(s)K(s)

(10)

描述的多變量反饋系統為漸近穩定的充分必要條件是[9]

(11)

對于多變量系統其回差陣滿足關系式

(12)

其中φc(s)為閉環系統特征多項式,φ0(s)為開環系統特征多項式。由方程(8)和(12)，可得開環系統特征多項式φ0(s)為

φ0(s)=s4(s+3.7)(s+5)

(13)

可看出φ0(s)沒有位于s右半平面零點，故n0=0。作gi(s)ki(s)(1≤i≤2)的Nyquist圖,如圖3所示。

圖3 g1(s)k1(s)和g2(s)k2(s)的Nyquist曲線

3 穩定裕度分析

對于MIMO線性系統，穩定裕度的計算不像SISO系統那樣簡單，這里要考慮到各回路間的耦合問題。許多學者研究表明可采用回差陣奇異值法計算MIMO系統的穩定裕度，即利用系統回差陣的最小奇異值來表示系統的相對穩定性[3]。對一般如圖4所示系統模型，其中G(s)∈Cn×n為系統標稱模型，在輸入端引入不確定性量測陣，令s=jω，則有

P(jω)=diag{kie(jφi)},i=1,2,…,n

(14)

我們希望得到所有回路中ki和φi同時變化且變化多大時系統仍能保持穩定，也即ki和φi是系統的相對穩定性的度量值。

圖4 系統模型

I+GP=[(P-1-I)(I+G)-1+I](I+G)P

(15)

(16)

若考慮增益和相位在每個通道同時變化的情況，采用方程(14)，受攝動系統穩定的充分條件變為

(17)

GM=-20lg(1-m),PM=2arcsin(m/2)

(18)

本文中的系統模型是簡化后的兩輸入兩輸出線性模型，可計算其回差陣[I+G(s)K(s)]的表達式為：

I+G(s)K(s)=

(19)

分析上述結果可知，并矢展開法設計的控制器使系統具有比較滿意的穩定裕度，可以看出回差陣奇異值計算方法簡單且計算量較小；并且有效地解決了MIMO控制系統穩定裕度計算時各回路之間的耦合問題，重要的是該方法給出了閉環系統保持穩定所容許的所有回路的幅值或相位同時變化程度。但是也應該看到該方法具有一定的保守性，下面將作進一步的討論。

4 仿真結果

針對衛星本體俯仰軸姿態運動和天線指向角運動同時跟蹤情況下的MIMO控制系統進行仿真分析，繪制仿真圖像，以驗證上文所設計的控制器的有效性。

在本文中，對象模型參數取Ia,yy=0.438kg·m2,Ib,yy=3453kg·m2,ma=8kg,cc=-1.94m，cs=-0.22m，xra=-0.0056m，則動力學方程為：

可設計控制器為：

(20)

仿真中采用式(20)所示的控制器，令初始時刻各狀態量的初始值θ0=0°,β0=0.1°。設計衛星本體俯仰軸姿態期望跟蹤曲線和衛星天線指向角期望跟蹤曲線分別為

在考慮有外部干擾力矩作用在星本體的情況下，研究衛星本體俯仰軸姿態運動和天線指向角運動同時跟蹤期望軌跡時的系統控制能力。在式(1)所示的系統模型中，在第一個表達式中加入擾動項Tv=0.1πsin(πt/10)/180+0.0001 (N·m)，得到仿真結果如圖5～8所示。

圖5 星本體俯仰姿態期望軌跡及實際響應曲線

圖6 衛星天線指向角跟蹤軌跡及實際響應曲線

圖7 星本體俯仰姿態和天線指向角的跟蹤誤差曲線

圖8 星本體姿態控制力矩Mcy和天線驅動力矩Mβ

通過仿真結果可以看出，在加入外部干擾力矩情況下，俯仰姿態和天線指向角能快速跟蹤期望軌跡，兩者跟蹤誤差最終都趨于較小值；這說明所采用的控制方法對平臺-附件控制對象模型具有良好的解耦控制能力，同時能保證較高的天線跟蹤指向精度和姿態控制精度，因此所設計控制方法使系統具有較好的跟蹤效果，且具有一定的魯棒性，仿真結果滿足設計要求。

進一步地，對采用回差陣奇異值法計算得到的穩定裕度結果進行分析。根據上面回差陣奇異值法求得的系統穩定裕度，當系統兩通道同時滯后41.52°的相位角時，可得系統的跟蹤誤差曲線如圖9所示；從圖中可看出，響應初始階段系統振蕩現象明顯，但是系統仍然穩定并沒有達到臨界穩定狀態。若進一步增大兩通道的滯后相角，滯后相角取到53.19°時，得到系統的響應曲線如圖10所示，從圖中可看出，系統出現發散趨勢，即將變得不穩定。

圖9 系統滯后41.52°相角時跟蹤誤差曲線

圖10 系統滯后53.19°相角時輸出響應曲線

分析上述情形可看出采用回差陣奇異值法求得的系統穩定裕度的結果是偏保守的，該方法沒有準確地給出系統由穩定狀態達到臨界穩定狀態時所容許的相角能變化的最大范圍。研究認為有以下原因：

1)回差陣奇異值法理論本身的不足，式(16)是受攝動系統穩定的充分條件而不是充要條件，除了式(16)所示條件外，還有別的條件仍能保證系統的穩定性，而這些條件的忽略可能造成對系統幅值和相位裕度的保守估計；

2)文中穩定裕度的計算是基于式(20)所示線性控制系統，而仿真中是針對非線性系統模型，這也可能造成穩定裕度大小的不一致。

5 結論

本文針對兩輸入兩輸出多體衛星模型，采用多變量頻域技術中的并矢展開法設計衛星本體姿態和附件指向角的MIMO控制系統，仿真結果表明所設計的控制器有較強的魯棒性，而且控制器結構較簡單，易于工程實現。此外，文中所設計的天線控制帶寬與星本體控制帶寬相當，這是由于本文設計過程中沒有考慮本體姿態對天線的前饋控制。最重要的一點，文中在保證穩定性的基礎上，利用回差陣奇異值法得到了控制系統的穩定裕度，并討論該方法出現保守性的原因。下一步工作要在系統控制中考慮天線的工程執行機構模型，同時改善穩定裕度計算方法的保守性，使系統的控制效果和穩定裕度的計算結果更具有工程參考價值。

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On MIMO Control and Stability Margin of Multi-Body Satellite,China

LI Xindong GOU Xingyu

Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190， China

Thepitchattitudeandantennapointingcontrolofmulti-bodysatellitesarepresentedinthispaper,thestabilitymarginofthemulti-inputmulti-output(MIMO)linearcontrolsystemisgiven.Firstly,thedyadicexpansionmethodisutilizedtodesignthecontrollerbasedonthetwo-inputtwo-outputsystemmodel,andastabilityanalysisoftheresultingclosed-loopsystemisincludedthroughtheNyquiststabilitycriterion.Therelationshipbetweenthesatelliteattitudecontrolbandwidthandtheantennapointingcontrolbandwidthisstudied.Secondly,thestabilitymarginoftheMIMOcontrolsystemisobtainedbycomputingtheminimumsingularvalueofthesystemreturndifferencematrix.Finallytheconservativenessofthestabilitymarginisdiscussed,andsimulationresultsarepresentedtoshowthatthisdesigntechniqueiseffectiveandtheanalysisisreasonable.

Multi-bodysatellites;Dyadicexpansionmethod;Minimumsingularvalueofthereturndifferencematrix;Stabilitymargin;Satellitecontrol

2012-09-10

李信棟(1986-), 男,山東人 ,博士研究生, 研究方向為航天器姿態控制; 茍興宇(1970-), 男,四川人 , 研究員, 主要研究方向為航天器姿態、軌道動力學與控制。

V448.22

A

1006-3242(2013)05-0025-06