多塔自錨式懸索橋豎彎基頻簡化計算＊

張 超

（福州大學土木工程學院 福州 350108）

0 引 言

在懸索橋方案選形及概念設(shè)計階段，往往需要快速了解結(jié)構(gòu)動力特性及掌握橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對動力特性的影響.如采用簡化計算公式，則可以大大提高設(shè)計效率，也可以作為判斷數(shù)值結(jié)果正確性的依據(jù).因此，建立滿足工程精度要求的頻率簡化計算公式具有較大的應用價值.目前，有關(guān)學者對于懸索橋基頻簡化計算公式已經(jīng)開展了一些研究.鞠小華［1］基于能量原理用Rayleigh法推導了2塔地錨式懸索橋一階對稱豎彎頻率近似計算公式.劉斌［2］利用Rayleigh法推導了3塔地錨式懸索橋豎向振動的4個基頻計算公式和扭轉(zhuǎn)振動的4個基頻計算公式.在自錨式懸索橋方面，王志誠［3］應用Rayleigh方法推導了雙塔自錨式懸索橋的低階豎彎及扭轉(zhuǎn)頻率計算公式.然而，至今仍沒有適用于多塔自錨式懸索橋豎彎頻率計算的簡化公式.由于中間主塔沒有被主纜有效地錨固，主梁又長期處于壓彎耦合受力狀態(tài)，多塔自錨式懸索橋的豎向剛度較小［4］，且主梁振動與主纜的振動強烈耦合，整體結(jié)構(gòu)豎向振型及頻率較其他橋型有較大的不同.因此，本文以多塔自錨式懸索橋豎向振動為研究對象，推導其低階豎向振動頻率的簡化計算公式.

1 多塔懸索橋豎向振動特性

多塔懸索橋的建設(shè)尚處于起步階段，目前為止，已建（或在建）的多塔懸索橋均為三塔懸索橋，主要有泰州長江大橋［5］、馬鞍山長江大橋［6］、武漢鸚鵡洲長江大橋［7］和福州市螺洲大橋［8］.其中前3座是地錨式，最后1座為自錨式.相關(guān)文獻研究結(jié)果表明，多塔懸索橋豎向剛度均較小，低階振型通常表現(xiàn)為豎向彎曲振動.

由以上關(guān)于3塔懸索橋豎向振動的研究成果可以看出，由于多塔懸索橋的中間橋塔等效剛度較小的結(jié)構(gòu)特點，1階豎向振動一般表現(xiàn)為反對稱豎彎，伴隨著中塔縱彎振動；緊接其后，豎向振型表現(xiàn)為出主跨主梁對稱豎彎振動.因此，本文針對多塔懸索橋豎向振動的研究主要集中于工程師較為關(guān)注的低階豎向振動.

2 Rayleigh法應用于頻率計算

Rayleigh方法的基本原理為：當系統(tǒng)進行固有振動時，如果不考慮阻尼力消耗能量，那么其動能與位能反復交換.對于保守系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)總能量是守恒的.

如果結(jié)構(gòu)在自由振動時，任一點、任一瞬間的位移可以表示時間和空間的函數(shù)，則可以通過能量守恒定理寫出頻率近似計算公式，如下：

綜上所述，只要能近似寫出的振型函數(shù)ˉφ（x），即可以利用上式求出該結(jié)構(gòu)的固有自振頻率的近似解.

3 豎彎振型頻率計算公式推導

3.1 基本假設(shè)

本文推導基于以下假定：（1）假定所有材料的應力應變關(guān)系滿足虎克定律；（2）假定恒載為沿跨度均勻分布，且完全為纜索支承，因此在恒載作用下主纜線形為拋物線狀；（3）假定吊索是稠密的，可比擬為僅在豎向有抗力的均勻膜，不考慮吊索的拉伸；（4）假定加勁梁為兩端承受軸壓力的等截面連續(xù)梁，不考慮加勁梁的豎曲線；（5）假定橋梁自由振動為靜力平衡狀態(tài)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的小幅度振動，整個過程結(jié)構(gòu)剛度不變；（6）忽略主塔索鞍的縱橋向變位對主纜線形的影響；（7）假定主塔剛度較小，即在頻率計算公式推導過程中忽略主塔剛度的影響.懸索橋為纜索體系結(jié)構(gòu)，在恒載作用下主纜會產(chǎn)生較大的重力剛度，主塔縱向彎剛度則相對較小，相關(guān)學者在進行懸索橋自由振動基頻近似計算時均忽略橋塔剛度的影響.

三塔自錨式懸索橋基本結(jié)構(gòu)如圖1所示.根據(jù)假設(shè)，恒載為沿跨度均布作用下，主纜在恒載下的成橋線形為二次拋物線.結(jié)構(gòu)的豎向變形用v（x，t）來表示，如下式

式中：ψ（x）為假定的變形函數(shù)；z（t）廣義時間坐標.在下文公式推導過程中，下標t，g，c分別為主塔、加勁梁、主纜.

圖1 三塔自錨式懸索橋基本結(jié)構(gòu)圖

3.2 構(gòu)件自由振動能量計算

多塔懸索橋結(jié)構(gòu)由主纜、主塔（中間主塔及邊塔）、主梁及吊索等主要構(gòu)件組成.3塔自錨式懸索橋豎向彎曲自由振動的勢能和動能計算如下.

1）豎向自由振動位能計算 主纜的位能由兩部分組成：拉力變化產(chǎn)生的主纜應變能、主纜恒載拉力作用點變化產(chǎn)生的位置勢能，可以表示為

式中：Hpi為第i跨主纜的水平拉力增量；lsi為與纜索線形有關(guān)的參數(shù)，定義為Hg為恒載作用下主纜的水平拉力，根據(jù)撓度理論可知為結(jié)構(gòu)振動豎向變形函數(shù).當忽略橋塔剛度的影響時，各跨主纜的水平拉力增量Hp均相同，則上式可以寫成

自錨式懸索橋中，加勁梁處于壓彎耦合的受力狀態(tài)，其豎向自由振動過程中的位能主要由豎向彎曲應變能Uge1、加勁梁壓縮應變能Uge2及恒載軸壓力在加勁梁變形時產(chǎn)生的位能Uge3三部分之和.加勁梁總位能Uge可以表示為：

基于不考慮吊索拉伸的假定，當不考慮主塔振動影響時，自由振動分析時僅需考慮主纜、主梁的振動，總位能U可以表示為：

上式可以看出，對于自錨式懸索橋，結(jié)構(gòu)振動總能量計算中，主纜與主梁位能表達式中的項相互抵消；然而，在地錨式懸索橋總位能表達式中則會保留有項.由此差別可以看出主纜錨固方式對懸索橋振動特性的影響規(guī)律：對地錨式懸索橋而言，恒載越大，則其振動總位能越大；然而，恒載大小對自錨式懸索橋的振動總位能則影響不大.兩種橋型的振動總位能表達式的差異也導致了最后頻率計算公式的不同（詳細比較請見后文）.

2）豎向自由振動動能計算 當不考慮吊索拉伸時，可以認為主纜豎向變形與主梁一致，可以得到主纜豎向振動產(chǎn)生的動能Tc.因此，結(jié)構(gòu)豎向振動總動能T為

式中：Tc，Tg分別為主纜和主梁的動能；mc為左右2根主纜質(zhì)量集度之和.

3.3 自由振動中變形協(xié)調(diào)

由于自錨式懸索橋中的主纜直接錨固于梁端，全橋變形應滿足如下平衡關(guān)系：纜索錨固點之間的水平投影縮短量應等于加勁梁兩端水平距離的縮短量.可得到自錨式懸索橋的變形協(xié)調(diào)平衡方程（具體的公式推導過程請參見文獻［8］）：

3.4 1階反對稱豎彎頻率計算公式推導

不考慮主塔剛度影響時3塔自錨式懸索橋1階反對稱豎彎振型見圖2.

圖2 1階豎向反對稱振型示意圖

自由振動的位移是由慣性力引起的，形狀函數(shù)的假設(shè)必須滿足實際邊界條件，因此本文選取均布荷載作用下，兩端簡支的單跨梁的撓曲線近似作為1階反對稱豎彎振動的形狀函數(shù)，各跨形狀函數(shù)如下：

根據(jù)主梁振動的連續(xù)性，主梁在各主塔處的轉(zhuǎn)角是連續(xù)的，可得：

由于3塔自錨式懸索橋為全對稱結(jié)構(gòu)，1階反對稱豎彎振動中，主纜索力水平增量Hp＝0.代入形狀函數(shù)，得到位能和動能的最大值，分別如下式：

定義與邊主跨跨徑為關(guān)的參數(shù)γ0，如下式.

基于Rayleigh法，可以得到三塔自錨式懸索橋1階反對稱豎彎頻率的近似計算公式：

3.5 1階正對稱豎彎頻率計算公式推導

根據(jù)邊跨和中跨的振動邊界條件，分別選取形狀函數(shù)如下：

基于以上形狀函數(shù)表達式，結(jié)合邊界平衡條件及變形協(xié)調(diào)方程，可以得到下式.

綜合以上各式，可以得到3塔自錨式懸索橋1階正對稱豎彎頻率的近似計算公式為

4 算例驗證

以某3塔自錨式懸索橋為算例，其跨徑布置為80m＋168m＋168m＋80m；主纜由四跨組成，主跨理論垂跨比為1∶6，邊跨理論垂跨比為1∶12.88；主橋橋面寬43m；邊塔及中塔采用相同的柔性主塔，承臺以上塔高48.9m；全橋2根主纜；吊索間距7m.具體的結(jié)構(gòu)基本參數(shù)見表1.

表1 工程基本結(jié)構(gòu)參數(shù)（單位：m，kN，t）

4.1 方法1——有限元法求解

根據(jù)以上工程的結(jié)構(gòu)參數(shù)，采用SAP2000建立三維有限元模型.模型中主塔和主梁采用Frame單元，其具有非線性屬性，可以考慮單拉、大變形等效應；主纜及吊索采用cable單元，可以考慮實際主纜的單拉效應、應力剛化效應及大變形效應.支座邊界條件采用節(jié)點耦合方式模擬.建立的三維有限元模型見圖3.

圖3 算例橋梁的有限元模型圖

基于非線性恒載作用下的成橋狀態(tài)進行結(jié)構(gòu)的動力特性分析.使用子空間迭代法計算結(jié)構(gòu)1階反對稱和正對稱豎向振型及自振頻率，見圖4.

圖4 有限元模型的模態(tài)分析結(jié)果

4.2 方法2——本文簡化公式計算

根據(jù)結(jié)構(gòu)基本信息，把已知參數(shù)代入式（13）、式（19），即可以快速計算出結(jié)構(gòu)1階反對稱和正對稱豎彎振型的頻率.計算過程如下.

1）1階反對稱豎彎頻率計算

表2 算例中豎彎基頻對比 Hz

4.3 計算結(jié)果比較

由表2可以看出，本文推導的豎彎基頻近似計算公式計算結(jié)果與有限元法計算結(jié)果吻合較好，誤差在工程允許范圍之內(nèi).因此，本文推導的公式可以適用于的3塔自錨式懸索橋豎彎基頻的簡化計算.

5 結(jié)束語

本文以3塔自錨式懸索橋為例，應用Rayleigh法推導了忽略中塔剛度影響下的多塔自錨式懸索橋1階正對稱和反對稱豎彎頻率計算公式.結(jié)合某工程算例，與有限元解相比較，驗證本文公式計算結(jié)果具有良好的精度.可用于橋梁方案初選和橋梁初步設(shè)計階段進行豎彎基頻計算.

［1］鞠小華.三跨連續(xù)加勁梁懸索橋基頻近似公式［J］.鐵道工程學報，2003（2）：59－63.

［2］劉 斌.三塔懸索橋振動特性的研究［D］.成都：西南交通大學，2009.

［3］王志誠.自錨式懸索橋靜動力特性撓度理論研究［D］.成都：西南交通大學，2006.

［4］YOSHIDA O，OKUDA M，MORIYA T.Structural characteristics and applicability of four－span suspension bridge［J］.Journal of Bridge Engineering.2004，9（5）：454－463.

［5］鄧育林，何雄君.行波效應對大跨多塔懸索橋地震反應的影響分析［J］.武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2011，35（3）：443－447.

［6］司義德.大跨度三塔懸索橋靜動力分析［D］.合肥：合肥工業(yè)大學，2010.

［7］房貞政，張 超，陳永健，等.武漢鸚鵡洲長江大橋抗震性能及減隔震措施研究報告［R］.福州：福州大學福建省海峽兩岸土木工程防震減災工程研究中心，2011.

［8］張 超.三塔自錨式懸索橋動力特性及地震響應研究［D］.福州：福州大學，2011.

［9］張 哲.混凝土自錨式懸索橋［M］.北京：人民交通出版社，2005.