一種基于歐氏距離的雙目視覺三維重建算法

張鵬煒，蔣曉瑜，呂家國，裴 闖

(1.66393部隊博士后科研工作站，河北保定071000;2.裝甲兵工程學院，北京100072)

1 引言

雙目立體視覺三維重建計算是對立體匹配結果進行量化處理的過程，即在攝像機內、外部參數已標定的情況，將匹配像點的坐標值代入定位模型，從而求解物點的3D坐標，是立體視覺的關鍵環節。目前的計算方法分為兩類［1－2］，即求取投影線交點法和圖像校準法。直接求取投影線交點的方法雖然是三維重建計算的傳統方法，但在實際中由于成像畸變、圖像噪聲和對應點匹配誤差，物點的左右圖像投影的反向延長線很難相交于一點，如果直接將匹配像點的坐標值代入雙目視覺定位模型，需要求解的超定方程是一個矛盾方程，只能通過最小二乘法求解空間點的近似位置［3－5］。另外，由于該方法迭代計算過程繁瑣，而且還涉及初值估計和局部最小值的問題，所以計算出的物點精度不高。圖像校準法雖然為左、右圖像中對應點的匹配提供了方便，但在校準過程中涉及坐標變換和圖像變換兩個計算量較大的過程［6］。而對于左、右圖像中需要匹配的標記物的數量較少，且對應關系易于確定的情況，運用圖像校準法進行三維重建計算顯得繁瑣。針對上述兩類方法存在的問題，本文以空間任意兩點的歐氏距離為基點，利用攝像機成像模型，經理論推導，建立了求取三維重建物點的數學模型，并證實了該算法具有較高的重建精度。

2 建立計算模型

圖1表示一個任意結構的雙目視覺系統，對于每個攝像機而言，如果光心和像點已知，就可以確定唯一射線，即OrIr、OlIl，在針孔成像模型下，物點必然在此射線上。因此，在理想情況下，兩條射線應在物點處相交，由此可以對空間物點進行交匯定位。但是，在現實情況下它們在空間不一定相交，目前常用的方法是取兩條投影線的公垂線中點作為視覺重建的場景點［3，5，7－9］。文獻［8］、［9］以矩陣求逆的形式給出了求公垂線PcplPcpr中點Pmid的方法，但在實際應用時，由于矩陣求逆計算量大、效率低，因此我們利用兩點間歐氏距離最小化的方法來簡化計算過程。

圖1 非平行軸雙目視覺幾何結構

設Kl和Kr分別為左右攝像機的內部參數矩陣，即:

R和T分別為右攝像機相對于左攝像機的旋轉向量和平移向量，Il(ul，vl)和 Ir(ur，vr)分別為左右圖像平面上的一對共軛圖像點，根據小孔成像原理，共軛圖像點歸一化［10］后，其齊次坐標 Nl(Ul，Vl，1)、Nr(Ur，Vr，1)分別為:

設點Pl是投影線OlIl上的任意點，在左攝像機坐標系中的坐標為Pl(Xl，Yl，Zl);同理，點 Pr是投影線OrIr上的任意點，在右攝像機坐標系中的坐標為Pr(Xr，Yr，Zr)，則有:

設點Pr在左攝像機坐標系中的坐標為)，由坐標變換關系可得:

則點Pl和Pr之間的歐氏距離為:

將式(3)～式(6)代入式(8)，得:

由范數的性質可得:

式中:

即:

因為d表示的是兩點間距離，所以d2存在最小值。

由

可得:

求解式(14)得:

即:

將式(12)代入式(16)得:

此時的Zl、Zr即為公垂線PcplPcpr兩端點分別在左右攝像機坐標系中Z軸方向上的坐標值，將式(17)分別代入式(5)、式(6)可得 Pcpl(Xcpl，Ycpl，Zcpl)和 Pcpr(Xcpr，Ycpr，Zcpr)的全部坐標值:

另由式(7)知Pl在右攝像機坐標系中的坐標，因此，如果公垂線中點 Pmid為空間場景點Ps的估計，則它在左、右攝像機坐標系中的坐標分別為:

可見，對于經過標定的雙目視覺系統，其內部參數Kl和Kr以及外部參數R和T是已知的。從左右攝像機獲取的共軛圖像點 Il(ul，vl)和 Ir(ur，vr)，由式(3)、(4)可求出它們的正規化坐標Nl和Nr，再由式(18)、(19)求出兩條投影線的公垂線端點Pcpl和Pcpr。最后，通過公式(20)和式(21)求出公垂線中點作為空間物點的三維坐標。

3 實驗及結果

圖2為自行研制的雙目視覺系統實驗樣機，主要包括雙目視覺定位儀、系統標定板、標記點、微型計算機及應用軟件等。雙目視覺定位儀選用兩臺像素為1392×1040的DH－SV1420FM黑白工業數字攝像機和高分辨、微畸變的Kowa透鏡LM6NCM自制了雙目立體視覺傳感單元，為擴大測量范圍，雙目視覺基線長度選定為200 mm。標定好雙目視覺參數后，利用自行設計的軟件，計算出處于不同位置的標記物的空間坐標，進而得到各標記物之間的距離(測量值)，如圖3所示。

標記物1～6為隨機打印在A紙上的標記物圖案，以游標卡尺測量的各標記物之間距離作為基準值，分別用投影線交點法、圖像校準法和本文方法檢測標記物，并將各標記物之間距離的測量與基準值相比較，結果如表1所示。

表1 各標記物之間的距離與誤差值

為了直觀反映三種重建方法的檢測精度，作如圖4所示的絕對誤差折線圖。由圖可以看出，本文所述的重建算法優于其他兩種方法，能夠獲得較高精度的檢測效果，在距立體定位儀1500 mm的前視范圍內，空間三維點距離的測量誤差不超過±1 mm。

圖4 三種重建方法檢測標記物間距的誤差

4 結束語

本文通過分析直接求取投影線交點法和圖像校準法進行三維重建計算的不足，提出了基于歐氏距離最小化的三維重建計算方法，進行了理論推導與實驗驗證。結果表明:該方法的重建精度高于投影線交點法、圖像校準方法，而且避免了矩陣求逆、迭代求解及圖像校準等繁瑣過程，從而提高了三維重建的實時性。

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