FIR數字濾波器兩種設計方法的比較

耿玉茹

（成都工業學院 電氣與電子工程系，四川 成都610031）

0 前言

FIR濾波器能嚴格做到線性相位和群時延為常數，并且不會因為濾波運算的舍入誤差而產生極限環振蕩現象。但它與IIR濾波器相比存在需要較高節數和濾波過程時間較長的缺點。常見的FIR濾波器設計方法有窗函數法，頻率采樣法，和切比雪夫等波紋優化設計法。本文將對窗函數法和切比雪夫等波紋優化設計法進行比較。[1]

1 設計方法比較

1.1 窗函數法

窗函數法的設計是在時域中進行的。設理想濾波器的單位脈沖響應為 hd（n），則有：

因而，一旦 Hd（ejω）給定，就可求得 hd（n），但這樣求得的 hd（n）一般是無限長，且是非因果的。為了得到一個因果的有限長的濾波器h（n），要使用一個窗口函數 ω（n）對 hd（n）進行加窗處理，即：

因此選擇窗口函數的形狀和長度就成了窗口函數法的關鍵。表1列出了6種窗函數基本參數的比較。

表1 6種窗函數基本參數的比較

利用窗函數設計FIR濾波器的過程可設計如下：

1）利用式（1-2），由給定的濾波器的幅頻響應參數求出理想的單位脈沖響應 hd（n）。

2）按允許的過渡帶寬度Δω及其阻帶衰減As=-201gδs，選擇合適的窗函數 ω（n），并估計節數，其中A由窗函數的類型決定。

4）求h（n）=hd（n）ω（n）。

5）必要時驗算FIR濾波器的頻率響應。

1.2 等波紋設計法

我們所希望設計的濾波器幅度響應為Hd（ω），實際逼近的幅度響應為Hg（ω）。線性相位FIR DF根據單位抽樣響應h（n）的奇偶對稱性以及h（n）的長度N的奇偶性，總共可以分為四種類型。四種情況的Hg（ω）統一形成以下的形式：

其中，Q（ω）為已知的三角函數，P（ω）是關于 cos（nω）的線性組合。則加權切比雪夫誤差公式可定義為：

其中：E（ω）為加權誤差，W（ω）為逼近誤差加權函數。 將（1-4）式代入（1-5）式并令：

則，

（1-8）式也是最終的加權切比雪夫逼近誤差函數公式。那么線性相位FIR DF的加權切比雪夫等波紋逼近問題實際上就是求解P（ω）表達式的問題,從而使得在實行逼近的頻帶范圍A（包括通帶和阻帶）內，E（ω）的最大絕對值達到最小。在此定義該最小值表達式為：

為了求解（1-9）式，Parks-McClellan把逼近理論中的交錯點定理應用到濾波器設計中，從而得出了如下的交錯定理：

設P（ω）是r個余弦函數的線性組合,即：

P（ω）在A上能唯一的最佳逼近連續函數D?（ω）的充分必要條件是：加權誤差函數E（ω）在A內r+1個極值頻率點,即在A中存在ω1＜ω2＜…＜ωr+1共r+1個頻率點,各頻率點均滿足關系式：

利用MATLAB提供的remez函數實現Parks McClellan算法，設計濾波器逼近理想頻率響應，所得到的最佳一致濾波器的頻率響應具有等波紋特性。[2]

2 試驗驗證及結論

分別使用窗函數法和等波紋優化法設計設計出采樣頻率為2GSPS，截止頻率300MHz的線性相位濾波器。要求濾波器的阻帶衰減不小于40dB，通帶波紋不大于3dB。利用MATLAB仿真得到下面兩幅圖。[3]

圖1 等波紋優化設計出的33階低通濾波器

圖2 使用布萊克曼窗設計出的33階低通濾波器

通過圖1和圖2的比較可以看出，在在同樣的階數下，等波紋最佳逼近的優化設計方法可以獲得較準確的截止頻率，具有通帶和阻帶平坦，過渡帶窄等優點。

［1］黎雄,張學智.FIR數字濾波器的最優化設計及MATLAB實現[J].信息技術，2004(10)：38-39.

［2］劉益成,孫祥娥.數字信號處理[J].電子工業出版社，2004：214-225.

［3］巍巍.MATLAB 信息工程工具箱技術手冊[M].國防工業出版社，2004：1-3.