電磁軸承五種故障模式下的容錯控制與分析

段 焱，鄭世強

（北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電學(xué)院，北京 100038）

0 引言

隨著主動磁軸承應(yīng)用范圍的逐步擴大，主動磁軸承的可靠性也變得越來越重要。主動磁軸承的可靠性已成為其廣泛應(yīng)用的一大障礙。根據(jù)電磁軸承獨特的冗余結(jié)構(gòu)，在部分線圈（功放）故障的情況下，可對其進行容錯控制，以保證電磁軸承系統(tǒng)穩(wěn)定可靠地運行。

二十世紀九十年代，美國弗吉尼亞大學(xué)的Maslen和Meeker[1]針對任意結(jié)構(gòu)的徑向磁軸承提出了廣義偏流線性化理論，該理論提出一種通用的將電磁力和控制電流兩者關(guān)系顯性化的方法，當線圈（或功放）全部正常工作時，可以得到電磁力和控制電流之間的線性化控制關(guān)系，當部分線圈（或功放）失效的情況，利用廣義偏流線性化仍然可以電磁力與控制電流之間的線性化關(guān)系。因此，廣義偏流線性化理論可以為磁軸承系統(tǒng)執(zhí)行器容錯控制提供理論基礎(chǔ)。Schroder[2]和Ming[3]在Maslen的基礎(chǔ)上采用拉格朗日法進行了電流分配矩陣的求解，Na[4,5]在此基礎(chǔ)上又進行了仿真分析。Won[6,7]針對一種永磁偏置四磁極結(jié)構(gòu)，利用拉格朗日乘子法計算電流分配矩陣。

國內(nèi)對這方面研究比較少，吳步洲[8,9]等根據(jù)文獻[1]中提到的磁軸承結(jié)構(gòu)和容錯控制方法進行了參數(shù)計算和仿真。韓輔君[10]針對一種Homopolar結(jié)構(gòu)的永磁偏置結(jié)構(gòu)磁軸承，根據(jù)力不變原理得到故障前后控制電流的關(guān)系，進而得到相應(yīng)的電流分配矩陣。本文在Maslen和Meeker提出的廣義偏流線性化的基礎(chǔ)上，針對某種八極點磁軸承進行了五種故障模式分析，并且利用一種類似牛頓-拉普遜的數(shù)值方法進行每種故障模式下電流分配的計算，仿真結(jié)果表明，這種方法所求出的電流分配矩陣能夠在線圈五種故障模式下實現(xiàn)磁軸承線圈容錯的目的，提高了磁軸承系統(tǒng)的可靠性，最后還對每種故障模式下電磁軸承的軸承承載力進行了計算和分析。

1 軸承電磁力的一般表達式

主動磁軸承閉環(huán)控制系統(tǒng)的執(zhí)行器是電磁軸承定子線圈，指定大小和方向的電磁力可通過控制每個線圈上的電流產(chǎn)生。以一個八磁極的徑向電磁軸承為例（結(jié)構(gòu)示意圖以及磁路模型如圖1所示），利用磁路法推導(dǎo)軸承所產(chǎn)上的電磁力。

圖1 磁軸承結(jié)構(gòu)示意和磁路模型

首先假定鐵磁體工作在線性區(qū)，設(shè)磁通φj的正方向如圖1中箭頭方向所示，每個磁極的電流方向均與φj符合右旋法則。由安培環(huán)路定律，可以得到7個獨立等式，由磁通守恒定律又可得到1個獨立等式，將這8個獨立等式寫成矩陣的形式，得

本文以NNSS磁極結(jié)構(gòu)為例，可以引入一個電流方向矩陣Id來描述實際的電流方向：

因此電流向量可表示為：

磁場中的所有能量可看作存儲在整個氣隙中，其表達式為：

根據(jù)虛位移原理，磁場在x，y方向上產(chǎn)生的力分別為：

2 廣義偏置電流線性化

采用廣義偏流線性化的方法可以將任意情形下的電磁力轉(zhuǎn)換為電流的線性函數(shù)。首先，假設(shè)軸承力已經(jīng)被線性化成電流的函數(shù)，即每個方向的軸承力正比于這個方向的控制電流，即：

其中c0是偏置電流，cx、cy分別為x方向軸承力Fx，y方向軸承力Fy對應(yīng)的控制電流。而在實際控制中，為了將c0、cx和cy與實際電流Ir對應(yīng)起來，可引入一個電流分配矩陣W，滿足：

由（11）式可知，只要W已知就可得到軸承力和電流的線性關(guān)系。為了得到電流分配矩陣W，首先將（10）式帶入（8）式可得：

對照（12）和（13）可得電流分配矩陣滿足的條件為：

3 電流分配矩陣求解

電流分配矩陣W首先應(yīng)該滿足式（14）這一約束條件，然后利用文獻[1]中總所提到的類似牛頓-拉普遜的數(shù)值方法可以分別求解得到五種故障模式下電流分配矩陣。

五種故障模式下電流分配矩陣定義為：線圈無故障時的電流分配矩陣為Wm，線圈出現(xiàn)故障時的電流分配矩陣為Wmfx，x表示故障線圈編號，具體數(shù)值計算如下。

4 仿真與分析

4.1 容錯方案

本文的容錯方案可描述為：在容錯控制時，根據(jù)檢測到相應(yīng)的故障模式，電流分配矩陣模塊切換到相應(yīng)的電流分配矩陣W，W將一路偏置電流c0和兩路PID控制器輸出的控制電流cx、cy經(jīng)過功放分配到八個磁極上，并且結(jié)合轉(zhuǎn)子當前位置，計算軸承電磁力，在對轉(zhuǎn)子進行控制，最終實現(xiàn)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮。根據(jù)上述的容錯控制方案，可設(shè)計如圖2所示的磁軸承線圈容錯控制系統(tǒng)。

圖2 電磁軸承容錯控制系統(tǒng)模型

4.2 仿真模型

控制系統(tǒng)模型參數(shù)的具體取值如表1所示，電磁極中心線與x軸夾角如表2所示。

表1 仿真系統(tǒng)參數(shù)表

表2 磁極中心線與x軸夾角表

4.3 仿真條件

1）磁軸承轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型為

2）故障設(shè)定：t=0.01s時線圈1發(fā)生故障，t=0.03s時線圈1和線圈2同時發(fā)生故障，t=0.05 s時線圈1、線圈2和線圈4同時發(fā)生故障，t=0.07 s時線圈1、線圈2、線圈4和線圈6同時發(fā)生故障，t=0.09 s時線圈1、線圈2、線圈4、線圈6和線圈7同時發(fā)生故障。

4.4 仿真結(jié)果

圖3和圖4為電磁軸承容錯控制系統(tǒng)在磁軸承在正常模式與五種故障模式下系統(tǒng)的位移與電流響應(yīng)波形圖。

在電磁軸承系統(tǒng)容錯控制時，以轉(zhuǎn)子在x軸的位移輸出為例從圖3可以看出在t0=0 s時刻，磁軸承控制系統(tǒng)開始調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子的初始位置，使其穩(wěn)定在x=0，y=0的位置上，很快磁軸承轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮在初始位置。

圖3 電磁軸承容錯控制位移波形圖

圖4 電磁軸承容錯控制電流波形圖

分別在t1=0.01s，t2=0.03s，t3=0.05s，t4=0.07s時刻，電磁軸承系統(tǒng)分別有一個線圈，兩個線圈，三個線圈和四個線圈發(fā)生故障，觀察位移波形圖中可知系統(tǒng)容錯過程都比較快，迅速的就可以過渡到平穩(wěn)狀態(tài)。從電流波形圖如圖4所示中也可以清晰的看到這一過程中八個線圈中電流的變化情況。

在t5=0.09s時刻，有五個線圈同時發(fā)生了故障，磁軸承控制系統(tǒng)再一次進入容錯調(diào)節(jié)過程，觀察位移波形可知電磁軸承系統(tǒng)進入了一個比較緩慢的衰減震蕩的容錯過程，最終趨于穩(wěn)定。由容錯過程時間較長，振幅較前四種模式增大，可知這種故障模式下系統(tǒng)穩(wěn)定性較前四種模式有所降低。

根據(jù)圖3和圖4可知電磁軸承容錯過程調(diào)節(jié)時間很短，振幅也比較小，調(diào)節(jié)過程基本上保持了快速平穩(wěn)的過渡。

5 結(jié)論

仿真結(jié)果表明，當若干個磁軸承定子線圈或功放故障時，利用本文計算出的每種故障模式下電流分配矩陣和容錯控制方法，都可以確保系統(tǒng)穩(wěn)定運行。

[1] Maslen E.H.,Meeker D.C.Fault tolerance of magnetic bearings by generalized bias current linearization [J].IEEE Transactions on Magnetics,1995,31(3):2304-2314.

[2] SCHRODER P,CHIPPERFIELD A J,FLEMING P J.et al.Fault tolerant control of active magnetic bearings[C].Proc.of Industrial Electronics,July 6-8,1998.IEEE International Symposium Conf.,1998:573-578.

[3] LI M,PALAZZOLO A.Fault-tolerant homopolar magnetic bearings [J].IEEE Trans.on Magnetics,2004,40(5):3308-3318.

[4] U.J.Na,A.B.Palazzolo.Fault tolerance of magnetic bearings with material path reluctances and fringing factors [J].IEEE Transactions on Magnetics,2000,36(6):3939-3946.

[5] U.J.Na.Fault tolerance of homopolar magnetic bearings [J].Journal of Sound and Vibration,2003,(272):495-511.

[6] J.S.Won,U.J.Na.Design of Flux Invariant,Fault Tolerant Homopolar Magnetic Bearings [C].SICEICASE,Oct.18-21,2006.SICE-ICASE International Joint Conference,2006:3470-3473.

[7] J.S.Won,U.J.Na,H.O.Kang,et al.Bidirectional Homopolar Magnetic Bearings with Fault Tolerant Capability [C].COEX,Oct.17-20,2007.International Conference on Control,Automation and Systems,2007:2254-2257.

[8] 吳步洲,孫巖樺,王世琥,等.徑向電磁軸承線圈容錯控制研究[J].機械工程學(xué)報,2005,41(6):157-162.

WU Buzhou,SUN Yanhua,WANG Shihu,et al.Coil fault-tolerant control for radial active magnetic bearings[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2005,41(6):157-162(in Chinese)

[9] 景敏卿,周健,吳步洲,等.基于電流重新分配的電磁軸承的線圈容錯控制[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報,2005,11(11):121-124.

JING Minqing,ZHOU Jian,WU Buzhou,et al.Research on coil fault-tolerance control of active magnetic bearings based on redistributing current[J].Journal of System Simulation,2005,11(11):121-124(in Chinese)

[10] 韓輔軍,房建成.一種永磁偏置磁軸承容錯方法的實驗研究[J].機械工程學(xué)報,2010,46(20):34-39.

HAN Fujun,FANG Jiancheng.Research on Faulttolerant Control for Magnetic Bearings Biased by Permanent Magnetic[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2010,46(20):34-39(in Chinese)