自由曲面數(shù)控加工的實(shí)時(shí)自適應(yīng)進(jìn)給速度規(guī)劃算法

董靖川，王太勇，丁彥玉，李 勃，劉 喆

（1. 天津大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津大學(xué) 機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072；3. 天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津，300072）

0 引言

進(jìn)給速度規(guī)劃對(duì)數(shù)控機(jī)床的加工效率、輪廓精度、振動(dòng)和表面質(zhì)量等方面有重要影響。對(duì)于自由曲面的加工，CAM軟件生成的程序包含了大量的由小線段組成的刀具路徑。數(shù)控系統(tǒng)需要在機(jī)床性能的約束條件下對(duì)進(jìn)給速度曲線進(jìn)行優(yōu)化，以減少加工時(shí)間并獲得平滑的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。

為了實(shí)現(xiàn)小線段程序的高速平滑加工，在數(shù)控系統(tǒng)中引入了前瞻算法。前瞻算法提前預(yù)讀若干程序段，并通過(guò)對(duì)預(yù)讀程序段的分析實(shí)施加減速處理。Han等人[1]引入了預(yù)讀緩沖區(qū)實(shí)現(xiàn)對(duì)小線段的速度規(guī)劃。Hu等人[2]討論了小線段轉(zhuǎn)角的約束條件，并對(duì)前瞻段數(shù)和時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行了仿真。Luo等人[3]發(fā)表一種通過(guò)雙向鏈表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的通過(guò)速度規(guī)劃算法。Ye等人[4,5]對(duì)小線段幾何特征進(jìn)行分類，引入了包含多個(gè)小線段的規(guī)劃元。但是該方法中要求規(guī)劃元內(nèi)小線段數(shù)目基本相等，而且需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)指定。

小線段路徑在轉(zhuǎn)角位置具有方向不連續(xù)性。為了提高加工速度，降低沖擊，很多學(xué)者應(yīng)用曲線擬合或插值的方法修改程序中的加工路徑以提高連續(xù)性[6～8]。但曲線構(gòu)造、速度規(guī)劃和插補(bǔ)的方法需要的運(yùn)算量非常大，而且會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。實(shí)際上，在生成自由曲面加工程序時(shí)，由于原始刀具路徑本身是連續(xù)曲線，可以通過(guò)提高CAM軟件的直線擬合精度減小生成的程序中相鄰小線段間的方向變化。但在復(fù)雜曲面加工中，刀具路徑的曲率變化范圍很大，在高曲率位置如果以高速進(jìn)給會(huì)產(chǎn)生很大的沖擊，需要進(jìn)行適當(dāng)控制[10]。同時(shí)，在不同曲面相交的位置刀具進(jìn)給方向也會(huì)發(fā)生突變，需要預(yù)先檢測(cè)并處理。

本文針對(duì)自由曲面數(shù)控加工的小線段程序，提出了一種自適應(yīng)進(jìn)給速度規(guī)劃算法。通過(guò)分析小線段間幾何關(guān)系對(duì)曲率進(jìn)行估計(jì)，在此基礎(chǔ)上實(shí)施進(jìn)給速度調(diào)整。同時(shí)檢測(cè)進(jìn)給速度具有較大突變的轉(zhuǎn)角位置，進(jìn)行速度限制。在前瞻處理中采用了具有限制加加速度的7段加減速曲線，給出了不同情況下的規(guī)劃解。在該算法中開(kāi)發(fā)了目標(biāo)速度濾波器，以減小進(jìn)給速度波動(dòng)，并降低速度規(guī)劃單元的數(shù)量，減少實(shí)時(shí)運(yùn)算負(fù)擔(dān)。最后，通過(guò)仿真和實(shí)際加工測(cè)試驗(yàn)證了本文算法的有效性。

1 自適應(yīng)進(jìn)給速度調(diào)整

1.1 加工路徑曲率估計(jì)

在自由曲面的高速加工中，如果采用恒定的進(jìn)給速度加工，那么在到達(dá)刀具路徑曲線上大曲率的位置時(shí)將產(chǎn)生極大的加速度沖擊，導(dǎo)致輪廓誤差增大和機(jī)床結(jié)構(gòu)振動(dòng)。為了達(dá)到平穩(wěn)的加工效果，數(shù)控系統(tǒng)需要在大曲率位置自動(dòng)減速，降低法向加速度。在三維空間中，對(duì)于解析式已知的參數(shù)曲線，曲率κ可由下式確定：

然而，對(duì)于由微小線段組成的加工路徑，無(wú)法獲得曲率的解析表達(dá)式，因此只能根據(jù)線段間的幾何關(guān)系對(duì)曲率進(jìn)行估算。

首先考慮對(duì)于圓的等弦高誤差小線段逼近，如圖1所示。其中，φ為兩個(gè)小線段間的夾角，S為小線段長(zhǎng)度，則可求得半徑R為：

注意到在生成自由曲面的數(shù)控加工程序時(shí)，為了減少小線段的數(shù)目，CAM軟件同樣會(huì)采取等弦高誤差的方法用小線段生成加工路徑。可以根據(jù)小線段的長(zhǎng)度及線段間的夾角構(gòu)造一個(gè)近似曲率圓?C，如圖2所示，并用其半徑作為曲率半徑的估計(jì)。假設(shè)加工路徑上某個(gè)小線段的長(zhǎng)度為S，該線段與上一線段間的夾角為φ，則曲率半徑估計(jì)值?ρ為：

圖1 圓的等弦高誤差小線段逼近

圖2 小線段加工路徑的曲率半徑估計(jì)

按照式和估計(jì)曲率時(shí)，需要進(jìn)行耗時(shí)的三角函數(shù)計(jì)算。在實(shí)時(shí)速度規(guī)劃中，可以用以下方法避免三角函數(shù)計(jì)算。如圖3所示，假設(shè)相鄰兩個(gè)小線段的單位方向向量分別為1e和2e，則：

單位方向向量e1和e1還可以進(jìn)一步用于插補(bǔ)計(jì)算。

圖3 用向量關(guān)系求解

1.2 進(jìn)給速度調(diào)整

若刀具路徑上某一點(diǎn)的曲率為κ，進(jìn)給速度為v，則該點(diǎn)的法向加速度nA為：

假設(shè)加工過(guò)程中允許的最大法向加速度為Anmax，曲率半徑估計(jì)值為κ?，由式可知進(jìn)給速度v應(yīng)滿足：

對(duì)于刀具路徑上一個(gè)小線段，假設(shè)其編程進(jìn)給速度為pv，則其目標(biāo)運(yùn)行速度tv可設(shè)置為：

另外，如圖3所示，在加工路徑的上兩個(gè)小線段的夾角位置，由于有速度方向的突變，可能造成沖擊。在對(duì)連續(xù)曲面加工時(shí)，一般相鄰小線段間夾角接近180°，沖擊較小。但在刀具路徑不連續(xù)的地方，例如兩個(gè)曲面的相交位置，則可能造成較大沖擊。因此必須限制速度突變。設(shè)伺服系統(tǒng)允許的最大突變?yōu)閙axvΔ，則轉(zhuǎn)角處進(jìn)給速度cv應(yīng)滿足：

2 前瞻速度規(guī)劃

2.1 限制加加速的加減速方法

對(duì)于運(yùn)動(dòng)路徑上的每一個(gè)速度規(guī)劃單元（簡(jiǎn)稱規(guī)劃元），給定其運(yùn)動(dòng)距離、起始速度、目標(biāo)速度和結(jié)束速度，為了獲得平滑的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，需要應(yīng)用適合的加減速方法得到其速度規(guī)劃曲線。限制加加速度的加減速方法具有連續(xù)的梯形加速度曲線，減少了對(duì)結(jié)構(gòu)的沖擊。完整的加減速曲線包含7段[9]，如圖4所示。圖中，t，S，v，A，J分別表示時(shí)間，位移，速度，加速度和加加速度。在每個(gè)段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程為

根據(jù)機(jī)床特性，可以設(shè)定最大加加速度J和最大加速度Amax，則最大加加速時(shí)間Tj為:

在對(duì)小線段路徑進(jìn)行速度規(guī)劃時(shí)，在長(zhǎng)度較短或速度變化較小的情況下，加減速曲線可能少于7段。速度規(guī)劃需要確定加減速曲線包含哪些階段，并確定各階段的運(yùn)行時(shí)間。給定規(guī)劃元長(zhǎng)度S，起始速度vs，目標(biāo)運(yùn)行速度vt和目標(biāo)結(jié)束速度vet，通過(guò)位移方程和速度方程可解出各段運(yùn)行時(shí)間，具體規(guī)劃算法如下：

圖4 完整的限制加加速度加減速曲線

1）計(jì)算臨界距離1cS

4）計(jì)算臨界距離c4S

6）計(jì)算臨界距離c5S

在求解某些規(guī)劃結(jié)果時(shí)需要解高次多項(xiàng)式方程，可以采用Newton-Raphson迭代方法求得數(shù)值解，其中迭代初始值可設(shè)為

2.2 前瞻速度規(guī)劃

在速度規(guī)劃中，為了減少不必要的加減速，縮短加工時(shí)間，希望每個(gè)規(guī)劃元的目標(biāo)結(jié)束速度vet盡量大。在實(shí)時(shí)前瞻速度規(guī)劃中，控制器通過(guò)提前預(yù)讀多個(gè)規(guī)劃元確定當(dāng)前規(guī)劃元的 vet。假設(shè)前瞻緩沖區(qū)內(nèi)已預(yù)讀了N個(gè)規(guī)劃元，其中第k個(gè)規(guī)劃元的長(zhǎng)度和目標(biāo)速度分別為 S (k)和 vt(k)，由式確定的第 k -1個(gè)和第k個(gè)規(guī)劃元間的轉(zhuǎn)接點(diǎn)速度限制為 vc(k - 1 )，設(shè) vme(N)=0，則以第N段到第1段的順序依次應(yīng)用以下反向速度規(guī)劃得到 vet。

2.3 目標(biāo)速度濾波器

由前瞻算法原理可知，速度元的數(shù)量決定了速度規(guī)劃的實(shí)時(shí)計(jì)算量和加減速的次數(shù)。在加工小線段程序時(shí)，如果將每個(gè)小線段視為一個(gè)規(guī)劃元，則需要大量實(shí)時(shí)運(yùn)算，同時(shí)加減速限制在每個(gè)小線段內(nèi)部，造成過(guò)多加減速。為此，本文提出了目標(biāo)速度濾波器算法，以減少規(guī)劃元的數(shù)量。假設(shè)第k段小線段的目標(biāo)運(yùn)行速度為 vtin(k)，則對(duì)應(yīng)的濾波器輸出 vtout(k)為

式中a為濾波器參數(shù)，取值范圍[0,1)。目標(biāo)速度濾波器的作用是，在目標(biāo)速度變化較小時(shí)，延遲目標(biāo)速度的變化，使相鄰的小線段盡可能以相同的目標(biāo)進(jìn)給速度運(yùn)行，如圖5所示。

圖5 目標(biāo)速度濾波

若第k段和第 k + 1 段的轉(zhuǎn)角限制速度為 vc(k)，則對(duì)于滿足 vtout(k)= vtout(k + 1 )且的相鄰兩個(gè)小線段可以合并到一個(gè)規(guī)劃元。通過(guò)反復(fù)執(zhí)行合并，一個(gè)規(guī)劃元可以包含多個(gè)微小線段。可見(jiàn)，目標(biāo)速度濾波器減少了規(guī)劃元數(shù)量，提高了加工效率。

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

首先，在matlab軟件中驗(yàn)證本文提出的實(shí)時(shí)自適應(yīng)進(jìn)給速度規(guī)劃算法的有效性，測(cè)試軌跡如圖6所示。該平面圖形由1498條小線段構(gòu)成。根據(jù)本文算法獲得的曲率估計(jì)如圖7所示。軌跡規(guī)劃中編程進(jìn)給速度為1000mm/min，前瞻規(guī)劃緩沖區(qū)大小為10個(gè)規(guī)劃元，允許的最大速度突變?yōu)?0mm/s，最大法向加速度為50mm/s2，最大加加速度為50000mm/s3，最大加速度為2500mm/s2，濾波器參數(shù)為0.3。在未開(kāi)啟目標(biāo)速度濾波器和開(kāi)啟目標(biāo)速度濾波器的情況下，規(guī)劃結(jié)果分別如圖8和圖9所示。可見(jiàn)，開(kāi)始目標(biāo)速度濾波器后，速度波動(dòng)明顯減少，運(yùn)動(dòng)軌跡更加平滑，總體運(yùn)行時(shí)間也更少。同時(shí)可以看出，進(jìn)給速度在尖角處和高曲率位置處自動(dòng)下降，防止產(chǎn)生沖擊，實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)調(diào)整。

圖6 平面測(cè)試刀具路徑軌跡

圖7 平面測(cè)試刀具軌跡曲率估計(jì)

圖8 未開(kāi)啟目標(biāo)速度濾波器的規(guī)劃結(jié)果

圖9 開(kāi)啟目標(biāo)速度濾波器的規(guī)劃結(jié)果

為了驗(yàn)證實(shí)際加工自由曲面零件時(shí)的效果，在自行開(kāi)發(fā)的運(yùn)動(dòng)控制卡上實(shí)現(xiàn)了本文的算法。該運(yùn)動(dòng)控制卡基于ARM處理器和FPGA芯片，其實(shí)物如圖10所示。實(shí)際加工在一臺(tái)加工中心上進(jìn)行。測(cè)試加工程序?yàn)槿S聯(lián)動(dòng)曲面銑削，包含大量小線段，其曲率估計(jì)結(jié)果如圖11所示。由于測(cè)試程序的進(jìn)給方向與X軸呈45度夾角，因此看以看出曲率分布并不對(duì)稱。測(cè)試時(shí)編程進(jìn)給速度為2000mm/min，前瞻規(guī)劃緩沖區(qū)大小為100個(gè)規(guī)劃元，允許的最大速度突變?yōu)?0mm/s，最大法向加速度為1000mm/s2，最大加加速度為10000mm/s3，最大加速度為500mm/s2，濾波器參數(shù)為0.3。在加工過(guò)程中切削進(jìn)給平穩(wěn)，沒(méi)有振動(dòng)現(xiàn)象，實(shí)際加工效果如圖12所示。

圖10 運(yùn)動(dòng)控制卡實(shí)物

圖11 曲面銑削刀具路徑的曲率估計(jì)結(jié)果

圖12 測(cè)試加工的零件

4 結(jié)論

本文針對(duì)自由曲面的小線段程序加工問(wèn)題提出了一種實(shí)時(shí)自適應(yīng)進(jìn)給速度規(guī)劃算法。該算法能夠?qū)庸ぢ窂降那蔬M(jìn)行估計(jì)，并在高曲率位置和大速度突變位置自動(dòng)實(shí)施減速，實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)進(jìn)給速度調(diào)整。通過(guò)限制加加速的前瞻速度規(guī)劃處理實(shí)現(xiàn)了平滑的進(jìn)給速度曲線。目標(biāo)速度濾波器的應(yīng)用減少了規(guī)劃元數(shù)量，降低了實(shí)時(shí)規(guī)劃運(yùn)算量。仿真和實(shí)際加工測(cè)試驗(yàn)證了本文算法的可行性。與傳統(tǒng)方法相比，本文方法不但能夠?qū)崿F(xiàn)基于曲率估計(jì)的自適應(yīng)平滑速度規(guī)劃，而且有效降低了小線段程序的前瞻處理運(yùn)算量，有利于實(shí)現(xiàn)高性能數(shù)控加工。

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