基于k/N 保障系統的連續施工設備配置優化分析

劉云 李敏

(1.陜西咸陽古建集團有限公司，陜西咸陽 712000;2.西安鐵路職業技術學院，陜西西安 710014)

工程施工過程中設備系統能否正常工作決定了工程任務的完成效果，特別是在搶險過程中，施工設備往往需要連續工作，保障工作設備的正常工作就顯得尤為重要，然而在實際工作過程中要求所有的設備同時正常工作難度會很大，準備備用設備就成為必然，一旦發生設備故障則可用備用設備替代，從而保證工作能連續完成。若備用設備數量足夠多則工程必然可以順利實施，但這一結果是以犧牲成本為前提的，其實在實際工作過程中這種情況完全沒有必要，我們需要的是整個工作系統的工作狀態正常，當組成工作系統的具體設備有個別失靈，只要事件不影響系統工作結果，就完全可以不必考慮，所以備用件的個數越少越好。

以某施工單位進行搶修作業為例，為能夠短時間、高效率的完成任務，共安排5套設備同時作業，而實際只要其中3套設備能正常工作，就能保證整個搶修系統工作正常，這時這5套設備就構成了一個工作系統，其中的2套設備構成備用設備，我們將這種系統稱為k/N系統。由于k/N系統具有高可靠性，在施工作業中，尤其是在使用一些高科技的設備工作中被越來越多的應用。

k/N系統理解起來很簡單，但是最關鍵的問題是在一定概率要求的條件下，如何確定保障工程系統正常工作的設備的最小備用保有量，即設備保障量的最優值。由于設備工作的具體狀況復雜多變，為了更清楚的研究問題，本文將按單階段任務和多階段任務兩種情況來進行分析。

1 單階段任務中的k/N系統設備保障量分析

假設某任務的完成方式為單階段一次完成，所需時間為T，完成任務所需要的設備中的某種構件可以形成k/N系統，其中該構件的失效率為λ。這一系統在執行工作任務的時候，當有構件發生故障后，需要依據“備用設備消耗量最小”的原則，即只要不影響設備完成當前任務，就不需要進行故障部件的更換，此時只要工作部件的數量能夠不小于k，那么就可以保證整個系統正常工作。但是當發生故障的部件過多，從而導致系統中能夠正常工作的部件數量小于k時，整個系統就無法順利工作了，此時則需要立刻更換設備，以便系統可以繼續正常工作。

建立數學模型，要求備用設備的保障率不小于已經給定的概率P，從而求解出在單階段任務狀態下設備保障量的最優值S。

我們可以把這種情況下k/N的系統按照其在任務執行期間發生的失效過程分為兩個不同的階段:發生故障后對故障件進行修理的階段和無法修理需要更換故障件的階段，這兩個階段的變化過程如圖1所示。

設t為兩個階段的分割時間點，在t時刻以前，系統中部件故障不更換，在t時刻以后，部件故障立刻用備用設備替換。也就是說，在0～t期間，系統中共有N－k－1個部件發生故障，在t～T期間，每有一個部件發生故障就立即更換，系統一直保持僅有k個部件工作的狀態，那么，在t時刻，恰好出現N－k個部件故障。

圖1 k/N系統階段變化過程

設P(N，k，T，j)為在任務期間恰好消耗j個備用設備的概率，s為面向任務的設備儲備量。

當j=0時，即任務期間沒有更換備用設備，那么整個任務都處在不更換故障件階段(t＞T)，在任務期間故障件的數量不大于N－k－1。此時:

當j＞0時，即任務期間更換了j個備用設備，此整個任務必然包含了不更換故障件階段和更換故障件階段，則t≤T，設f(t)為間隔點的概率密度函數，此時:

在更換故障件階段共消耗j個備用設備的概率恰好等于由k個部件組成的串聯系統在T－t時間內消耗j個備用設備的概率:

然后再用計算 P(N，k，T，j)。

其中，P(N，k，T，j)即為任務期間正好需要j個備用設備的概率，而P(j≤s)則表示單階段任務期間備用設備需求量j≤s的概率。那么:

這里S就是所求的最優設備保障量。

2 多階段任務中的k/N系統設備保障量分析

單階段任務發生的狀況一般比較簡單，但大多數情況下任務的發生是由不同的工作階段共同組成的，各階段之間互相影響，也就是我們所稱的多階段任務。這種情況下，k/N系統結構中的N和k只會隨著任務階段的變化而變化，各階段要求的工作部件數量也不同，也就是說這個k/N系統在各個階段的任務中是不同的。

假設一個多階段任務可以被分解為L個階段性任務，其中各構件的配置數為N，各階段任務的完成時間為Tl。該k/N系統會隨著各階段需完成的任務要求變化，設在第l(l=1，2，…，L)個任務中，起先有kl個可工作部件，任務要求工作期間至少要保證Kl個部件工作，此時系統為Kl中取kl系統。要求備用設備保障率不小于P，多階段任務期間最優設備保障量為S。

令第l階段備用設備消耗量為jl，該階段結束時的可工作部件恰好是下階段任務開始時的可工作部件數 kl+1，P(kl，Kl，Tl，jl)為任務期間備用設備消耗的概率。

通過分析可知，若kl≥Kl，則kl可取設備基本保障量Kl，每階段問題可按單階段情況來處理;若kl＜Kl，則要按照備用設備消耗量最小的原則先對整個系統進行整修，更換Kl－kl個故障件，然后再開始執行該階段任務，此時系統可被看作是由Kl個部件組成的串聯系統，如圖2所示。

圖2 多階段任務執行示意圖

在kl＜Kl的前提下，當本階段任務準備的備用設備數jl≥Kl－kl時，系統可以被看作一個由Kl個部件組成的串聯系統;然而當本階段任務備用設備數jl＜Kl－kl時，表示用來替換Kl－kl個故障件的備用設備不夠用，任務將無法繼續執行。

根據上面的結果分情況討論可得:

設系統在每個階段任務開始時的可工作部件數量為k1，k2，…，kL，在該階段任務結束時可工作部件數量為k*(k*≥KL)，且總備用設備消耗量恰好為 s的概率為 P(k1，k2，…，kL，k*，s)。則:

設P(s)為系統在此多階段任務中恰好消耗s個備用設備的概率，則:

設P(j≤s)則表示多階段任務期間備用設備需求量j≤s的概率。那么:

那么:

這里S就是所求的最優設備保障量。

3 應用實例

某施工搶修作業設備包含5個同類型的部件，部件的發生失效的概率為λ=0.001 h－1，部件發生失效的情況之間互不干擾?，F在該設備要完成一個搶險任務，任務全程可分為3個階段，在第1階段，任務的工作時間為100 h，要求至少保證2個部件工作正常;第2階段的工作時間為250 h，至少要有3個部件工作正常;第3階段的工作時間為250 h，要求至少保證2個部件工作正常。需要在備用設備保障率不低于 0.90，0.95，0.99 的條件下，確定該部件的最優設備保障量。利用前面建立的數學模型，可以得到結果如表1所示。

表1 最優設備保障量核算結果

由此可知當需要工作順利完成時，若備用設備的保障率要達到90%，只需提供一個備用設備即可。

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